0と1との無限列で1の比率が1/2に収束しない列は非可算個ある事を示せ

Question

[問] 0と1との無限列で1の比率が1/2に収束しない列は非可算個ある事を示せ。
という問題なのですがどうすればいいのかさっぱり分かりません。

「f(x)=tanxは区間(-π/2,π/2)とRを一対一に対応させ,g(x)=π(x-1/2)は区間(0,1)と区間(-π/2,π/2)とを一対一に対応させるからRとI=(0,1)は対等である。
従って,Rが可算でないことを示すにはIが可算でない事を示せばよい。
有限数列,例えば0.237等は0.236999…と表す事にする。
Iの全ての数a_1,a_2,を
a_1=0.a_11a_12a_13…
a_2=0.a_21a_22a_23…
a_3=0.a_31a_32a_33…
：
(a_ijは0から9までの数字)

と番号付けできたと仮定する。
数bをb_i=
1 (a_iiが偶数の時)
2 (a_iiが奇数の時)
とするとb=0.b_1b_2b_3…
はa_1ともa_2ともa_3とも…　異なる事が分かる。
しかしbは紛れも無く無限数列なのでIに属する。これは矛盾である」

というカントールの対角線論法を利用するのかとも思いましたが。。。

どのようにして示せますでしょうか?

rinkun · Accepted Answer

ANo.3です。ANo.3への返事がANo.1の方に書かれているようですね。
そこの追加質問に対する返事です。

>> まずＸ＝「0と1からなる無限数列の全体」が非可算であることは明らかです。
>> これは無限数列が自然数(可算無限濃度)から2={0,1}への関数で、
>これは1→0.00…,2→1.00…,3→0.100…,4→1.100…,5→0.0100…,6→0.1100…,7→1.0100…,8→1.1100…
>という具合に対応させるのでしょうか?

違います。0と1からなる無限列{a_n}のn番目の項は0か1の値をとります。
従って、無限列{a_n}は自然数全体Nから{0,1}への関数
　N∋n |→ a_n∈{0,1}
と見ることができるのです。
一般に集合Aから集合Bへの関数は全部で|B|^|A|個あるので、無限列(Nから{0,1}への関数)は全部で2^|N|個あります。

>えーと,2^(可算無限濃度)は可算な無限集合の冪集合という意味ですよね。
厳密には違いますが、「{0,1}の無限列」と「可算無限集合の部分集合」には自然な対応があるので、可算無限集合の冪集合と言っても良いです。

>ん? a_0やa_1では1が現れる比率は1/2ですよね。1は1=1.000…と書けるので1で1が現れる比率は(ほぼ)0なのでは?
>よって、a_0,1,a_1,1,...は1が現れる比率が順に1/2,0,1/2,0,…となり,この数列a_0,1,a_1,1,...で1が現れる比率は1/4になるのではないでしょうか?

違います。
a_0,1,a_1,1,...
は数列{b_n}を
b_n=a_k (if n=2k)
b_n=1   (if n=2k+1)
で定めた
b_0=a_0,b_1=1,b_2=a_1,b_3=1,...
という数列の積もりです。
b_nは1の表れる比率が偶数項は1/2、奇数項は1ですから、全体としては3/4になります。
なお、ＡからＢへの単射は、{a_n} |→ {b_n}の対応です。
# ＡもＢも要素は無限列であって、一つの項ではないので間違いのないように

>> 一方でＸ＝Ａ＋Ｂ（＋は直和）
>直和という事は∀x∈Xに対して(xは1と0が連なる無限列),∃1a∈A且つ∃1b∈B (∃1は一意的存在を意味する)
>such that x=a+bですよね。

違います。ここでは集合の直和、すなわち共通部分のない集合の和集合の意味です。
ＡとＢは定義により共通部分がないことは明白です。

>> は非可算ですから、ＢはＡが可算か否かに関わらず非
>> 加算でなければいけません。
>これは何の命題でしょうか?
>これは「Xが非可算でAがXの真部分集合ならばX＼Aも非可算」という命題は偽ですよね。

Ｂが可算だとしましょう。
|Ａ|≦|Ｂ|なので、Ｂが可算ならＡも可算、従って|Ｘ|＝|Ａ|＋|Ｂ|も可算です。
これはＸが非加算であることに矛盾します。

rinkun · Answer

ANo.7について。
ちょっと用語法に混乱があるようです。

> 2＾(自然数の基数)=(実数の基数)
これは常に成り立ちます。
(実数の基数)は連続体濃度ともいわれ、2^(可算無限)です。
またこれをアレフということもあります。(アレフ1ではない)
アレフ1の定義は、アレフ0の次の基数(基数＝濃度は大小順序で整列している)です。同様に順にアレフ2、アレフ3、と定義されます。
連続体仮説は アレフ＝アレフ1 です。連続体仮説を仮定しない場合、一般にはアレフが何番目の無限基数かは分かりません。
# もちろん アレフ＝アレフ2 など特別な仮定をおいて議論することもある

rinkun · Answer

ANo.5のお礼への回答です。

> 2^|N|=2^アレフ0>アレフ0 (∵命題"空でない集合Aの冪集合2^Aは#A<#2^Aである")
> そして連続体仮説から2^アレフ0=アレフ1(:非可算の濃度)でなければならないのですね。
> 従ってXは非可算なのですね。
> 連続体仮説は正しいと仮定していいのでしょうか?

非加算は、2^アレフ0>アレフ0 だけから出ます。
可算（すなわち可算無限あるいは有限）でなければ非可算です。連続体仮説は必要ありません。
後は余談です。
アレフ:=2^アレフ0 が非可算であることから、アレフ1の最小性によりアレフ≧アレフ1 が出ます。
逆の アレフ≦アレフ1 は連続体仮説です。

> 所でX⊃A+Bは言えますがX⊂A+Bは言えますか?
> 例えばa_0,0,a_1,1,a_2,1,a_3,1,…という数列は確かにXの元となりますがBの元にはなり得ないのでは?

Ｂの定義を確認しましょう。Ｂは「1の比率が1/2に収束しない無限数列の全体」であって、Ａ＝「1の比率が1/2に収束する無限数列の全体」の像ではありません。
Ｂには1の比率が収束しないものも含めてＡに属さない全ての{0,1}無限列が含まれます。

masudaya · Answer

>2^|N|=2^アレフ0>アレフ0 (∵命題"空でない集合Aの冪集合2^Aは#A<#2^Aである")
>そして連続体仮説から2^アレフ0=アレフ1(:非可算の濃度)でなければならないのですね。
>従ってXは非可算なのですね。
連続体仮説は正しいと仮定していいのでしょうか?

ちょっと誤解があるようです.
2^|N|=2^アレフ0>アレフ0 
なので,非可算です.(アレフ0が可算の基数なので)
連続体仮説は,ほかの方も説明しているように
2＾アレフ0=アレフ1
つまり,
2＾(自然数の基数)=(実数の基数)
と言っているもので,これは平行線定理と同じく
仮説を正としても,偽としても集合論が構成できる
ことが分かっています.(詳しくは知りませんが...)

masudaya · Answer

＃3さん,お見事です.
"比率が1/2に収束する数列全体の集合を考え,これが加算個であること"を考えているときに,どうも怪しい気がしていました．
(一応文面にも記載しましたが．)

質問者さんにも,迷惑をかけてすみません.

D733 · Answer

#3さんの証明がきれいですね。

> 1の比率が1/2に収束する無限数列が可算個と言っていますが、私はこれには懐疑的です。

たしかに、{(1,1,0,0), (1,0,1,0)}^N ですら非可算ですね。

この考え方を使えば、たとえば1の比率が1/3に収束する無限数列は、{(1,1,0,0,0,0), (1,0,0,1,0,0)}^N を含むので、質問の集合の濃度が非可算である、というような証明も可能ですね。

rinkun · Answer

まずＸ＝「0と1からなる無限数列の全体」が非可算であることは明らかです。
これは無限数列が自然数(可算無限濃度)から2={0,1}への関数で、その全体Ｘは2^(可算無限濃度)＝連続無限濃度があるからです。
ちなみにANo.1さんのアレフを使って書くと
可算無限濃度＝アレフ0
最初の非加算無限濃度＝アレフ1
連続無限濃度＝2^(アレフ0)＝アレフ
です。
ANo.2さんが指摘しているように、アレフ1＝アレフは通常数学の範囲では決定不能で、通常は使いません。
ただし対角線論法によりアレフ0＜アレフであり、従ってアレフは非加算で、アレフ1≦アレフであることは分かっています。

次にANo.1さんは、1の比率が1/2に収束する無限数列が可算個と言っていますが、私はこれには懐疑的です。しかし、証明ではそれは必要ありません。
1の比率が1/2に収束する無限数列{a_n}に対して、
a_0,1,a_1,1,...
という数列を作れば、この数列の1の比率は簡単な計算により3/4に収束します。
これによりＡ＝「1の比率が1/2に収束する無限数列」からＢ＝「1の比率が1/2に収束しない無限数列」の中への単射が定義できたので|A|≦|B|です。
一方でＸ＝Ａ＋Ｂ（＋は直和）は非可算ですから、ＢはＡが可算か否かに関わらず非加算でなければいけません。

Tacosan · Answer

使える道具がわからんのだけど,
・実数を「収束する有理数列」で定義する
ことを想定すれば一瞬で終わる気がする.
任意の実数に対し「それに収束する有理数列」が存在し, 1 の比率がその数列の各項になるように 0/1 を配置するだけ, ですよね.
ちなみに「2^aleph0 = aleph1」は決定不能です＞#1. つまり, = を仮定しても ≠ を仮定しても矛盾なく公理系を作ることができます. もちろん, 2^aleph0 は (aleph1 かどうかには関係なく) 非可算なんですが.

masudaya · Answer

まず,"0","1"からなる無限数列全体が非加算個(アレフ1)であることを示しましょう.無限数列の個数は加算個(アレフ0)であり,各数列は"0","1"の2通りあります.つまり,"0","1"からなる無限数列全体は
2^(アレフ0)となり,これはアレフ1です.これは,対角線論法を用いて証明可能だったと思います.
次に比率が1/2に収束する数列全体の集合を考え,これが加算個であることを示せればよいことになります.ここで,すべてが"0"の無限数列Aとすべてが"1"の無限数列Bを考えて,AにBの要素を埋め込んでいけば,比率が1/2になると思われる.そうすると0の個数と1の個数の数列で表されることになります.
たとえば{0011101100011・・・}は
(2,2),(1,2),(3,2)となります.こうすると,整数で表されるベクトルの集合となるため,これはアレフ0となる.
(少し怪しい気もします,ご自身でお確かめください)
以上から,0と1との無限列で1の比率が1/2に収束しない列は
アレフ1－アレフ0＝アレフ1
となります.

0と1との無限列で1の比率が1/2に収束しない列は非可算個ある事を示せ

ANo.3です。

ANo.7について。

ANo.5のお礼への回答です。

>2^|N|=2^アレフ0>アレフ0 (∵命題"空でない集合Aの冪集合2^Aは#A<#2^Aである")

＃3さん,お見事です.

この回答への補足

#3さんの証明がきれいですね。

まずＸ＝「0と1からなる無限数列の全体」が非可算であることは明らかです。

使える道具がわからんのだけど,

まず,"0","1"からなる無限数列全体が非加算個(アレフ1)であることを示しましょう.無限数列の個数は加算個(アレフ0)であり,各数列は"0","1"の2通りあります.つまり,"0","1"からなる無限数列全体は

この回答への補足

似たような質問が見つかりました

関連するカテゴリからQ&Aを探す

デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング

マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング