三角関数を使わずに∫[-1,1]1/√(1-x^2) dx=2∫[-1,1]√(1-x^2) dx

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8% …
によると、
π:=∫[-1,1]1/√(1-x^2) dx

π:=2∫[-1,1]√(1-x^2) dx

π:=∫[-∞,∞]1/(1+x^2) dx

ということですが、

∫[-1,1]1/√(1-x^2) dx
=2∫[-1,1]√(1-x^2) dx
=∫[-∞,∞]1/(1+x^2) dx

ということを三角関数を使わずに示すにはどうしたらよいのでしょうか？
三角関数を使わずに、という理由は、
arcsin(x)=∫[0,x]1/√(1-x^2) dx
というのが三角関数の定義として考えたいからです。

No.1 ベストアンサー 回答者： htms42 回答日時： 2008/08/21 08:01

∫[-1,1]√(1-x^2) dx

＝[x√(1-x^2)][-1,1]＋∫[-1,1]x^2/√(1-x^2) dx
＝－∫[-1,1]√(1-x^2) dx＋∫[-1,1]1/√(1-x^2) dx
∴
2∫[-1,1]√(1-x^2) dx
＝∫[-1,1]1/√(1-x^2) dx

この回答への補足

∫[-1,1]1/√(1-x^2) dx=∫[-∞,∞]1/(1+y^2)dyを証明する。

y=x/√(1-x^2)とおく。
x=-1の時y→-∞、x=1の時y→∞

x=y√(1-x^2)から
dx/dy=√(1-x^2)+y(dx/dy){-x/√(1-x^2)}
(dx/dy){1+xy/√(1-x^2)}=√(1-x^2)
(dx/dy)(1+y^2)=√(1-x^2)

従って、
∫[-1,1]{1/√(1-x^2)}dx=∫[-∞,∞]{1/(1+y^2)}dy

補足日時：2008/09/16 09:58

この回答へのお礼

すばらしい回答に感謝です。

∫[-1,1]1/√(1-x^2) dx
=2∫[-1,1]√(1-x^2) dx
=∫[-∞,∞]1/(1+x^2) dx

の後半もどなたかお願いいたします。

お礼日時：2008/08/21 13:43