振り子の等時性について

振り子の等時性についての質問です。

振り子の振幅が小さいときに、単振動近似で振り子の長さによらず振り子の周期が一定だということまではわかるのですが、振幅が大きくて単振動近似が使えないときに、振り子の周期と振り子の長さの関係はどうなるのでしょう。

一応運動方程式をたてて計算してみたのですが、途中でどうしても積分が解けなくなってしまって……。
振り子の等時性は、単振動近似が使えないような振幅が大きい時でも、成り立つのですか？

No.3 ベストアンサー 回答者： noname#96418 回答日時： 2008/09/25 09:35

運動方程式は

(d/dt)^2 θ = - (g/l) sinθ

ですね（各文字の意味は自明）。単振動近似では

sinθ≒θ

として上式を解きますが、

|sinθ| <= |θ|

なので、一般の場合には単振動の場合に比べて復元力が弱くなり、その結果として周期は長くなります。長くなる割合は、典型的な角度をφとすると（運動方程式の右辺を -(g/l)(sinφ/φ)θ として）

√(φ/sinφ) - 1

の程度であると概算されます。あるいはここで

sinφ≒φ-φ^3/6

として

φ^2/12

が得られます。具体的な値としては、φ = π/4 （45度）の場合に約5％です。

この回答へのお礼

あ、|sinθ| <= |θ|だからそりゃ復元力は弱くなりますよね。
ありがとうございました。

今度#2さんがおっしゃったように実験して確かめてみます。

お礼日時：2008/09/27 00:52

No.2 回答者： htms42 回答日時： 2008/09/25 07:47

振り子の等時性と言うのは「振幅によらず周期が一定」ということですね。

これが成り立つかどうか、
成り立たないとしたらどれくらいの角度からずれが目立ってくるか、
ずれるとしたらどちらにずれるか、
・・・

錘を糸につけてやってみればわかります。
Ｌ＝１．００ｍで周期は２．０秒です。（周期の式に数値を代入すれば出てきます。）
角度を変えて周期を測定してください。１０往復の時間を計って１０で割れば普通の時計でも周期が分かります。
これを角度を変えてやればいいです。
１５°、３０°、４５°、６０°とやれば知りたい所はわかります。
後でもっと角度の小さいところを調べるといいでしょう。
式が解けなくてもやってみればわかります。

角度が大きくなった時に周期が２秒よりも長くなるか、短くなるかがあらかじめ予想できているといいですね。どういう力が働いているかが分かると予想できます。

この回答へのお礼

実験なら誤差の方が大きいかと思ってやってませんでした。

ためしてみますね。ありがとうございました。

お礼日時：2008/09/27 00:48

No.1 回答者： ojisan7 回答日時： 2008/09/25 07:20

完全楕円積分という特殊関数になりますので、初等関数で表すことはできません。

しかし、級数展開して項別積分すれば、おおよその雰囲気は掴めるでしょう。ともかく、振幅が大きくなると、振り子の等時性は成り立ちません。下記サイトを参考にして下さい。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%AF%E5%8B%95% …

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%AF%E5%8B%95% …

この回答へのお礼

ああ、どうりで計算できないわけですね……。

ありがとうございました。リンク先興味深かったです。

お礼日時：2008/09/27 00:47