(問題)
x>0, y>0, z>0, x+y+z = 1 のとき、x^3 + y^3 + z^3 の最小値を求めよ。
------------------------------------------------------------
(私の解答)
x>0, y>0, z>0より、x^3>0, y^3>0, z^3>0 なので、相加・相乗平均の関係から、
x^3 + y^3 + z^3 ≧ 3 * (x^3 * y^3 * z^3)^(1/3)
等号成立は、x^3 = y^3 = z^3 のときで、
x>0, y>0, z>0 だから、x = y = z
これと x+y+z = 1 より
x = y = z = 1/3
のとき、x^3 + y^3 + z^3 は最小となる。
すなわち、x^3 + y^3 + z^3 ≧ 1/9
したがって、最小値は、1/9 ・・・(答)
------------------------------------------------------------
上記のように解きましたが、自信がありません。
正解か否かのご判定と、間違っている場合は、何が間違いかをご指摘いただければ幸いです。
No.9
- 回答日時:
>巷の参考書では、私のような解答が横行していますが、
>なにげに腑に落ちない感じがしましたので、質問させていただきました。
巷の参考書がどうだかは知りませんが、その「腑に落ちない」感覚は重要です。大事にしましょう。
ご返答ありがとうございます。
私は趣味で高校数学を学び直しておりまして、分不相応とは思いますが、最終的には、アインシュタインの相対性理論を理解したいと思っております。
最近、「高校数学プラスアルファ」という本に、高校数学だけで波動方程式を導くことができる、という記述があることを聞き、勇気付けられています。
では、このへんで回答を締め切らせていただきます。
No.8
- 回答日時:
疲れるねぇ、これをlast answerにしよう。
>つぎのように解釈しましたが、よろしいのでしょうか?
>「x^3 + y^3 + z^3が最小になるのは、3(3)√(xyz)=1/9 のときではない。」
そのとおりだ。そして、君の解答のどこが間違いであるかは既に指摘してある。同じ質問をするな。
正しい解法については、既にANO-4 で示しているだろう。
>x>0、y>0、z>0より、x^3 + y^3 + z^3≧3xyz ‥‥(1)
>又、 x+y+z≧3(3)√(xyz)より、1≧3(3)√(xyz)となるか>ら、3xyz≦1/9 ‥‥(2) 等号はx=y=z=1/3。
何度も言うが、x^3 + y^3 + z^3≧3xyz で 3xyzが一定値ならそれが即ち最小値になる。
しかし、この問題では 3xyzは一定値ではないから、x^3 + y^3 + z^3≧3xyz の不等式から“だけ”では最小値は出せない。
ANO-4 の私の解答を良く見なさい。
No.7
- 回答日時:
君の解答が違ってる点を具体的に示そう。
君の論理で行くと、x^3 + y^3 + z^3 ≧ 1/9であるから、3(3)√(xyz)=1/9 即ち、xyz=(1/27)^3 ‥‥(1)になる。
ところが、x = y = z であるから、(1)に代入すると、x = y = z =1/27となり、x+y+z = 1 に反する。
私が最初のレスで
>3項の相加平均・相乗平均の成立とx^3 + y^3 + z^3の最小値とは、この限りでは全く関係がない、という事。
と、書いた事が分るだろう?
この回答への補足
take_5様
再三再四ごていねいなご回答をいただきまして、深く感謝申し上げます。
つぎのように解釈しましたが、よろしいのでしょうか?
「x^3 + y^3 + z^3が最小になるのは、3(3)√(xyz)=1/9 のときではない。」
お手数をおかけしますが、よろしくお願いいたします。
No.6
- 回答日時:
(私の解答)
x>0, y>0, z>0より、x^3>0, y^3>0, z^3>0 なので、相加・相乗平均の関係から、x^3 + y^3 + z^3 ≧ 3 * (x^3 * y^3 * z^3)^(1/3)
等号成立は、x^3 = y^3 = z^3 のときで、x>0, y>0, z>0 だから、x = y = z
と、ここまでは何の問題もない。
しかし、“これと x+y+z = 1 より”とは、都合よく組み合わせたに過ぎない。
さっきも書いたが、ここで 積:xyz が一定値ならばx^3 + y^3 + z^3≧一定値となり、最小値が求められた。
例えば、xyz=1ならば、等号成立は、x = y = z、つまりx^3=y^3=z^3=1の時。即ち、x=y=z=1の時。
No.5
- 回答日時:
>要は、「相加平均・相乗平均の関係とは、単なる不等式である」ということですね。
ちょつと違うね。
「相加平均・相乗平均の関係とは、単なる不等式である」‥‥これ自体は間違いではないが。
x+y+z≧3(3)√(xyz)において、左辺のx+y+zが一定値ならxyzの最大値が求まり、逆にxyzが一定値ならx+y+zの最小値が求められる。
従って、この問題ではxyzの値が一定値ではないから最小値ではない、という事。わかり難いかな?
No.4
- 回答日時:
相加平均・相乗平均でも解けるね。
。。。うっかりしてた。。。笑x>0、y>0、z>0より、x^3 + y^3 + z^3≧3xyz ‥‥(1)
又、 x+y+z≧3(3)√(xyz)より、1≧3(3)√(xyz)となるから、3xyz≦1/9 ‥‥(2) 等号はx=y=z=1/3。
(1)が常に成立するから、x^3 + y^3 + z^3は3xyzの最大値より大きければ良い。
即ち、(2)より、x^3 + y^3 + z^3≧1/9. 等号は、x=y=z=1/3の時。
take_5様
再三にわたりご回答いただきまして、たいへんありがとうございます。
はじめは、おっしゃておられることが理解できなかったのですが、数日考えさせていただいて、ようやく納得できました。
要は、「相加平均・相乗平均の関係とは、単なる不等式である」ということですね。
この理解がまちがっていましたら、また、お教えいただければ幸いです。
No.3
- 回答日時:
あまりスマートではないが別解を示しておく。
でも、こちらの方がorthodoxかな?x、y、zについて平等から、0<x<1、0<y<1、0<z<1.
従って、y+z=1-x、yz=kとすると、yとzは f(t)=t^2-(1-x)t+k=0の2つの実数解で、共に0<t<1にあるから、その条件を求めると、判別式≧0、f(0)>1、f(0)>0、0<軸<1である。
実際に計算して整理すると、0<4k≦(1-x)^2 ‥‥(1)
P=x^3 + y^3 + z^3 =x^3+(y+z)*(y^2-yz+z^2)=3*(x-1)*k+(3x^2-3x+1)‥‥(2)。
これは、0<x<1より傾きが負のkの1次関数から、(1)より4k=(1-x)^2 で最小。
よって(2)の最小値は、P=4F=g(x)=3x^3+3x^2-3x+1であるからxについて微分するとg´(x)=3(3x-1)*(x+1)=0より 0<x<1で増減表を書くと、x=1/3で極小かつ最小。この時(1)よりk=1/9.
y+z=1-x=2/3、yz=k=1/9よりy=z=1/3.
又、P=4F=g(1/3)≧1/9。
No.2
- 回答日時:
質問者の解答の誤りは、3項の相加平均・相乗平均の成立とx^3 + y^3 + z^3の最小値とは、この限りでは全く関係がない、という事。
では、どのように解くべきか?
a、b、c、x、y、zについて、次の絶対不等式(シュワルツの不等式という)が成立する。
(a^2+b^2+c^2)*(x^2+y^2+z^2)≧(ax+by+cz)^2、等号は ay=bx、bz=cy、cx=azの時。
この絶対不等式を2回使うと良い。
x>0、y>0、z>0より、{(√x)^2+(√y)^2+(√z)^2}{(√x^3)^2+(√y^3)^2+(√z^3)^2}≧(x^2+y^2+z^2)^2 。 何故なら、{(√x)}*{(√x^3}=x^2 等による。
従って、(x+y+z)*(x^3+y^3+z^3)≧(x^2+y^2+z^2)^2、つまり、(x^3+y^3+z^3)≧(x^2+y^2+z^2)^2‥‥(1)
又、(1^2+1^2+1^2)*(x^2+y^2+z^2)≧(x+y+z)^2 であるから、x^2+y^2+z^2≧1/3 ‥‥(2).
以上から、(1)と(2)より、x^3 + y^3 + z^3 ≧1/9 (等号はx=y=z=1/3の時)
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