積分を利用した面積の最小値

画像の問題を教えてください！

質問者からの補足コメント

• タイトルが最小値となっていますが、1と2どちらともお願いします！

    補足日時：2019/08/22 02:05

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2019/08/22 17:59

面積を a の関数として表わし、a の変化に対する S(a) の増減表を作って、「最小」となるときの a と「最小値」を求めてください。

増減表を作るとき、極値を求めるには S(a) を a で微分すればよいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/08/22 20:58

y=2x²-3x+2+(x-2)|x-1|

x>1のとき、
y=2x²-3x+2+(x-2)(x-1)
=3x²-6x+4
=3(x-1)²+1　頂点(1,1)の下に凸の放物線です。

x≦1のとき、
y=2x²-3x+2-(x-2)(x-1)
=x²

よって、曲線Cは、放物線 y=x² と放物線 y=3x²-6x+4 を点(1,1)のところでつないだ曲線です。

y=ax-a+1
=a(x-1)+1
x=1のとき、y=1となるので、この直線は傾きaの値にかかわらず、点(1,1)を通ります。

［１］y=x² と y=ax-a+1 を連立させて交点のｘ座標を求めます。
x²=ax-a+1
x²-ax+a-1=0
(x-1){x-(a-1)}=0
x=1,a-1
y=x²はx≦1の範囲なので、a-1≦1より、a≦2…①
この放物線と直線で囲まれる部分の面積をS₁(a)とすると、
S(a)=S₁(a)=∫(x=(a-1)～1){(ax-a+1)-x²}dx=1/6{1-(a-1)}³=1/6(2-a)³

［２］y=3x²-6x+4とy=ax-a+1を連立させて交点のｘ座標を求めます。
3x²-6x+4=ax-a+1
3x²-(a+6)x+a+3
(x-1){3x-(a+3)}=0
x=1,(a+3)/3
y=3x²-6x+4はx>1の範囲なので、(a+3)/3>1より、a>0…②
この放物線と直線で囲まれる部分の面積をS₂(a)とすると、
S(a)=S₂(a)=∫(x=1～(a+3)/3){(ax-a+1)-(3x²-6x+4)}dx=3/6{(a+3)/3-1}³=1/2(a/3)³=a³/54

(1)①、②より、
(ⅰ) a≦０のとき、
S(a)=S₁(a)=1/6(2-a)³

(ⅱ) 0<a<2のとき、
直線は両方の放物線と交わるので、
S(a)=S₁(a)+S₂(a)=1/6(2-a)³+a³/54

(ⅲ)a≧2のとき、
S(a)=S₂(a)=a³/54

(2)
(ⅰ) a≦０のとき、
S(a)=1/6(2-a)³　最小値は、S(0)=8/6=4/3

(ⅱ) 0<a<2のとき、
S(a)=1/6(2-a)³+a³/54
1/6(2-a)³≧0, a₃/54≧0、相加相乗平均の不等式より、
S(a)=1/6(2-a)³+a³/54≧２√{1/6(2-a)³×a³/54}
等号が成り立つのは、1/6(2-a)³=a³/54のとき、
9(2-a)³=a³
{₃√９(2-a)}³=a³
₃√９(2-a)=a
(1+₃√9)a=2(₃√9)
a=2(₃√9)/(1+₃√9)
よって、a=2(₃√9)/(1+₃√9)のとき、S(a)は最小値をとり、
S(a)=２√{(a³/54)×(a³/54)}=(2a³)/54＝a³/27
最小値は、
S( 2(₃√9)/(1+₃√9) )={2(₃√9)/(1+₃√9)}³/27=72/27{１/(1+₃√9)}³=8/3{１/(1+₃√9)}³

(ⅲ)a≧2のとき、
S(a)=S₂(a)=a³/54　最小値は、S(2)=8/54=4/27

(ⅰ)、(ⅱ)、(ⅲ)の最小値を比べます。4/3>4/27
最小値　8/3{１/(1+₃√9)}³の大きさについて考えます。
₃√9>₃√8=2より、{１/(1+₃√8)}³=1/27>{１/(1+₃√9)}³
8/3{１/(1+₃√9)}³<(8/3)(1/27)=8/81
(ⅲ)の最小値4/27=12/81より、
(ⅱ)の最小値が一番小さい。

したがって、S(a)の最小値は、8/3{１/(1+₃√9)}³

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2019/08/22 21:05

No.1 です。

(1) まず、Ｃのグラフに書くこと。絶対値を外す条件を分けて。

(2) そこに直線ℓを書き入れて、交点を持つための条件と、交点の座標を求める。
　a の条件によって、交点の数や位置が変わる。

(3) 交点の条件から、それに従った S(a) を求める。

(4) S(a) の増減表を作り、最小値を求める。

けっこう面倒そうなので、具体的にはお任せします。