複数の点電荷の問題

3個の点電荷+q ,-2q ,+qが間隔ｄで直線状に置かれている。これら点電荷から十分離れた点（r>>d)における電位および電場の各成分Ex,Ey,Ezをdについて2次の精度で求めなさいという問題です。

複数なら和をとればいいというのは分かるのですが、具体的な計算方法がよく分かりません。

No.3 ベストアンサー 回答者： sanori 回答日時： 2008/11/30 22:40

こんばんは。

面白そうなので、頭の体操のつもりで考えてみました。


＞＞＞複数なら和をとればいいというのは分かるのですが、具体的な計算方法がよく分かりません。

和を取ればいいことはご存知であるわけですから、まずそれをやればよいです。
ｄについて二次の精度というのは、後付けでできます。


さて、ＸＹＺ座標系において、３つの電荷が、
点Ａ（０，０，－ｄ）に　＋ｑ　　の電荷Ａ
原点Ｏ（０，０，０）　に　－２ｑ　の電荷Ｂ
点Ｃ（０，０，ｄ）　に　＋ｑ　　の電荷Ｃ
というように並んでいるとします。

円筒座標系で表すと、
ｚ＝ｚ
ｒcosθ　＝　ｘ
ｒsinθ　＝　ｙ
となります。
（ここでいうｒは、電荷からの距離でも原点からの距離でもなく、円筒の半径であることに注意。）

電場の大きさはθに依存しませんから、θ＝０　として電場の大きさを考えるのが楽です。
それは、ＸＹＺ座標系において、
ｚ　＝　ｚ
ｘ　＝　ｘ
ｙ　＝　０
として考えるということです。
では、ＸＹＺ座標系にθ＝０の考え方を入れて、以下、計算を進めます。


座標（ｘ、０、ｚ）に点Ｐがあるとし、点Ｐにおける電場に注目します。
点Ｐの位置ベクトルを　ｐ→　と表し、その絶対値を　ｐ　と表すことにします。


点Ｐにおいて・・・

電荷Ｃによる電場は、
ＥC→　＝　１／（４πε0）・ｑ／｜ＣＰ→｜^2・ＣＰ→／｜ＣＰ→｜
　＝　１／（４πε0）・ｑ／｜ＣＰ｜^3・ＣＰ→
　＝　１／（４πε0）・ｑ／（（ｘ^2 ＋ （ｚ－ｄ）^2）^3/2・ＣＰ→
　＝　１／（４πε0）・ｑ／（ｘ^2 ＋ ｚ^2 － ２ｄｚ ＋ ｄ^2）^3/2・ＣＰ→
　＝　１／（４πε0）・ｑ／（ｐ^2 － ２ｄｚ ＋ ｄ^2）^3/2・ＣＰ→
　＝　ｑ／（４πε0）・ＣＰ→／（ｐ^2 － ２ｄｚ ＋ ｄ^2）^3/2

同様に、電荷Ａによる電場は、
ＥA→
　＝　ｑ／（４πε0）・ＡＰ→／（ｐ^2 ＋ ２ｄｚ ＋ ｄ^2）^3/2

電荷Ｂによる電場は、
ＥB→　＝　１／（４πε0）・（－２ｑ）／ｐ^2・ｐ→／ｐ
　＝　ｑ／（４πε0）・（－２ｐ→／ｐ^3）

３つを全部足して、
Ｅ→　＝　ｑ／（４πε0）・｛　ＣＰ→／（ｐ^2 － ２ｄｚ ＋ ｄ^2）^3/2　＋　ＡＰ→／（ｐ^2 ＋ ２ｄｚ ＋ ｄ^2）^3/2　－　２ｐ→／ｐ^3　｝
という暫定の答えが出ました。



ここで、ベクトルの成分は、
ＡＰ→　＝　（ｘ，０，ｚ＋ｄ）
ｐ→　＝　ＯＰ→　＝　（ｒ，０，ｚ）
ＣＰ→　＝　（ｘ，０，ｚ－ｄ）
なので、
電場のｘ成分は
Ｅx　＝　ｑ／（４πε0）・｛　ｘ／（ｐ^2 － ２ｄｚ ＋ ｄ^2）^3/2　＋　ｘ／（ｐ^2 ＋ ２ｄｚ ＋ ｄ^2）^3/2　－　２ｘ／ｐ^3　｝
　＝　ｑｘ／（４πε0）・｛　１／（ｐ^2 － ２ｄｚ ＋ ｄ^2）^3/2　＋　１／（ｐ^2 ＋ ２ｄｚ ＋ ｄ^2）^3/2　－　２／ｐ^3　｝

ｙ成分は、
Ｅy　＝　０

ｚ成分は
Ｅz　＝　ｑ／（４πε0）・｛　（ｚ－ｄ）／（ｐ^2 － ２ｄｚ ＋ ｄ^2）^3/2　＋ （ｚ＋ｄ）／（ｐ^2 ＋ ２ｄｚ ＋ ｄ^2）^3/2　－　２ｚ／ｐ^3　｝

です。（暫定の答え　その２）



ここで
ｋc　＝　１／（ｐ^2 － ２ｄｚ ＋ ｄ^2）^3/2
ｋa　＝　１／（ｐ^2 ＋ ２ｄｚ ＋ ｄ^2）^3/2
と置けば、

Ｅx　＝　ｑｘ／（４πε0）・｛　ｋc　＋　ｋa　－　２／ｐ^3　｝

Ｅz　＝　ｑ／（４πε0）・｛　（ｚ－ｄ）・ｋc　＋ （ｚ＋ｄ）・ｋa　－　２ｚ／ｐ^3　｝
　＝　ｑ／（４πε0）・｛　ｚ（ｋc ＋ ｋa）　－　ｄ（ｋc － ｋa）　－　２ｚ／ｐ^3　｝

と書くことができます。（暫定の答え　その３）



ここで、ｄ≪ｐ　を利用して、ｋc と ｋa の近似を考えます。

ｋc　＝　１／（ｐ^2 － ２ｄｚ ＋ ｄ^2）^3/2
　＝　１／ｐ^3・（１　－　２ｄｚ／ｐ^2　＋　ｄ^2／ｐ^2）^(-3/2)
　≒　１／ｐ^3・（１　＋　３ｄｚ／ｐ^2　－　３／２・ｄ^2／ｐ^2）

ｋa　＝　１／（ｐ^2 ＋ ２ｄｚ ＋ ｄ^2）^3/2
　＝　１／ｐ^3・（１　＋　２ｄｚ／ｐ^2　＋　ｄ^2／ｐ^2）^(-3/2)
　≒　１／ｐ^3・（１　－　３ｄｚ／ｐ^2　－　３／２・ｄ^2／ｐ^2）

すると、
ｋc ＋ ｋa　≒　（２　－　３ｄ^2／ｐ^2）／ｐ^3
ｋc － ｋa　≒　６ｄｚ／ｐ^5
となります。

よって、
Ｅx　≒　ｑｘ／（４πε0）・｛　（２　－　３ｄ^2／ｐ^2）／ｐ^3　－　２／ｐ^3　｝
　＝　ｑｘ／（４πε0ｐ^3）・（－　３ｄ^2／ｐ^2）
　＝　－３ｑｄ^2・ｘ／（４πε0ｐ^5）

Ｅz　≒　ｑ／（４πε0）・｛　ｚ（２　－　３ｄ^2／ｐ^2）／ｐ^3　－　ｄ・６ｄｚ／ｐ^5　－　２ｚ／ｐ^3　｝
　＝　ｑｚ／（４πε0ｐ^3）・｛　（２　－　３ｄ^2／ｐ^2）　－　６ｄ^2／ｐ^2　－　２　｝
　＝　－９ｑｄ^2・ｚ／（４πε0ｐ^5）

と出ました。
θ＝０　で考えていますから、Ｅy＝０　です。

計算不得意のため、どっか間違えているかもしれませんので、
検証してください。


あとは、θ＝０以外のケースについて、Ｅz以外（Ｅx と Ｅy）を求めます。

また、電場を無限遠点まで積分すれば、電位が求まります。


他の、うまい解き方があるような気がしますが、まずは、ご参考になりましたら。

この回答へのお礼

ご丁寧な回答ありがとうございます。
参考にさせて頂きます。

お礼日時：2008/12/01 00:26

No.2 回答者： fine001 回答日時： 2008/11/29 23:59

こんばんは、

質問者が、既に書いておられるように、電場に関しては、重ね合わせの原理が有効ですから、各電荷が一つしかなかったとして、無限遠点を基準点とする電位を求めることは容易ですね。３つの電荷に関して、電位を求め重ねあわす、即ち、足し算すれば電位が分かることになります。
具体的方法とは、r>>d、即ち|d/r|が十分小さいことを用いて、Taylar展開すると言う意味でしょうか・・・。

No.1 回答者： TM_macchan 回答日時： 2008/11/29 23:48

ダイポールが形成する電場は（公式としてではなく）自分で、座標系を設定して電場の式を書いて展開して近似して導出できますか？

具体的な計算方法は、ダイポールと同じだと思います。
面倒がらずに手を動かしてみることが大切です。