No.3ベストアンサー
- 回答日時:
助変数(媒介変数)を用いる微分法で,
忠実に d^2y/dx^2 を計算すれば良いだけのはなしです.
つまり,f, g を或る関数として,
y=f(t) ・・・・・(1)
x=g(t) ・・・・・(2)
と言うことを想定している問題です.
まず,dy/dx を求めて(公式です.),
次に,d^2y/dx^2 を計算します.
x と y が (1)式,(2)式のように
助変数表示されているときの dy/dx は,
dy/dx= (dy/dt)/(dx/dt) ・・・・・(3)
となります.この(3)式の両辺を x で微分すると,
d^2y/dx^2= d{(dy/dt)/(dx/dt)}/dx ・・・・・(4)
と書けます.この(4)式の右辺に対して,助変数の微分法を用いると
d^2y/dx^2= [d{(dy/dt)/(dx/dt)}/dt]/(dx/dt) ・・・・・(5)
となります.(5)式の分子:[d{(dy/dt)/(dx/dt)}/dt]を
t で微分する(分数の微分公式を用いる)と,
(5)式の分子:[d{(dy/dt)/(dx/dt)}/dt]は,
[d{(dy/dt)/(dx/dt)}/dt]= [(d^2y/dt^2)(dx/dt)-(dy/dt)(d^2x/dt^2)]/(dx/dt)^2
となりますから,d^2y/dx^2 は,結局,
d^2y/dx^2= [d{(dy/dt)/(dx/dt)}/dt]/(dx/dt)
= [{(d^2y/dt^2)(dx/dt)-(dy/dt)(d^2x/dt^2)}/(dx/dt)^2]/(dx/dt)
= {(d^2y/dt^2)(dx/dt)-(dy/dt)(d^2x/dt^2)}/(dx/dt)^3
で,質問の式が得られます.
No.4
- 回答日時:
#3です.補足しておきます.
貴方が#1さんの「この回答への補足」に書いている「0」になる
と言う次の式:
右辺=(d/dt){(dx/dt)(dy/dt)-(dy/dt)(dx/dt)}(dt/dx)^3
=0になります??
は,基本的に間違い(誤解・勘違い)です.
d^2y/dt^2 は,(d/dt)(dy/dt) のことではありません.また,
d^2x/dt^2 も (d/dt)(dx/dt) のことではありません.
d^2y/dt^2 は,y を t で2回微分したことを表す記号です.
d^2y/dt^2 は,ddy/dtt のことではありません.
d^2x/dt^2 も同様です.
2回微分の記号の意味を誤解しています.
No.2
- 回答日時:
(d/dt){(dx/dt)(dy/dt)-(dy/dt)(dx/dt)}
=(dx/dt)(d^2y/dt^2)-(dy/dt)(d^2x/dt^2)
ということでしょうか? その根拠は?
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