(高3)4元2次方程式がとけません。

4元2次方程式が解けません！(>_<)
元々は2行2列の行列の計算なんですが、そこから下の連立式までは立てられました。

4元2次方程式が解けないんです。（高３行列の解き方から）

（"^n"はn乗を表すものとします）
a^2 + bc = 19 - (1)
ab + bd = 9 - (2)
ac + cd = -30 - (3)
bc + d^2 = -14 - (4)
上記を満たす、a, b, c, dを求めよ。ただし、a+d > 0 とする。

もしかしたら、上の連立方程式が間違っているんでしょうか(^_^;)
(1)-(4)から、a^2 - d^2 = 33 つまり (a + d)(a - d) = 33
(2)-(3)から、b(a + d) = 9, c(a + d) = -30 なので、(a + d)(b - c) = 39
(2)と(3)の比率から、b : c = 9 : -30 なので、b = -(3/10)c
まではわかったんですが、文字が消えてくれないーーー！(>_<)

No.4 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2009/05/31 16:43

#2です。

A#2の補足について
> b=19/(a+d)>0
> c=-30/(a+d)<0
> からいきなり解がまだ出せていませんが、自分でも計算してみます。
解けませんか？

解き方のアドバイス
a+d=p>0, a-d=p …(5)
とおいてみて下さい。

A#2の補足の式から
b=19/p …(6)
c=-30/p …(7)
(1)-(4)から
a^2-d^2=(a+b)(a-b)=33
pq=33
q=33/p …(8)
(1)+(4)から
a^2+d^2+2bc=5
(a+d)^2+(a-d)^2+4bc=10
(5),(6),(7)を代入
p^2+q^2-1080/p^2=10
(8)から
p^2+9/p^2-10=0
p^4-10p^2+9=0
(p^2-1)(p^2-9)=0
p>0より
p=1,p=3
(8)から
(p,q)=(1,33),(3,11)
(5)から
(a,d)=(17,-16),(7,-4)
(6),(7)から
A#2に書いた(a,b,c,d)の組が出てきます。

この回答へのお礼

ヒー(>_<)言いながら、ひとまず自分でも導けました。
ありがとうございました。

お礼日時：2009/06/05 01:17

No.5 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/05/31 22:53

この問題に限らず、ベクトルや行列の計算をするときに、

安易に成分計算へ持ち込むことは、お勧めできません。
何かしらの見通しを立ててから、最小限の計算を行うべし。
手を使うのを恐れないことと、工夫するのを厭うことは、
違いますよ。

No.3 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/05/30 15:12

既に答えは出ているようなので、

解法だけ…

A~2 = C という式が与えられている。
両辺の行列式をとって、
(det A)~2 = det(A~2) = det C = 4
より、ad-bc = ±2。

一方、二次行列には、
ケーリー・ハミルトンの定理に由来する
有名な公式 A~2 -(a+d)A +(ad-bc)E = O
がある。これを
A =｛ C ±2E ｝/(a+d) と変形して、
再び両辺の行列式をとれば、
ad-bc のそれぞれの値に対して、
対応する a+d の値がわかる。

それを、上の A = … の式に入れれば、
A が求まる。

No.2 回答者： info22 回答日時： 2009/05/29 21:01

普通に計算ミスをしないように解くだけです。

a+d>0から(2),(3)式より
b=19/(a+d)>0
c=-30/(a+d)<0
なので解は
[a=17,b=9,c=-30,d=-16],[a=7,b=3,c=-10,d=-4]
の2通りですね。

この回答へのお礼

解が２通り出るんですね。
b=19/(a+d)>0
c=-30/(a+d)<0
からいきなり解がまだ出せていませんが、自分でも計算してみます。

お礼日時：2009/05/31 12:16

No.1 回答者： riddle09 回答日時： 2009/05/29 13:05

(２)式より

ｂ(ａ＋ｄ)＝９　ここでａ＋ｄ＞０より　ｂ＞０
(２)式÷(３)式より
ｂ／ｃ＝－３／１０　∴ｃ＝－(１０／３)ｂ　・・・(５)
これを(１)式に代入してｂをａで表し、その式を便宜的に(６)式と
すると、その(６)式を(５)式に代入してｃをａで表すことができます。
さらに(６)式を(２)式に代入してｄについて解けば、ｄをａで表す
ことができます。
こうしてａで表したｂ、ｃ、ｄを(４)式に代入してａについて解けば
ａが求まり、ｂ、ｃ、ｄもまた求まるはずです。

ちなみにａ＝７、ｂ＝３、ｃ＝－１０、ｄ＝－４ですね。