万有引力

半径が2*10^3[m]、質量が6*10^24[kg]の球Aと、半径が10^2[m]の球Bがあり
球Aと球Bの中心間距離が10^10[m]とします。ただし球Bの質量は球Aの質量に比べて極めて小さなものとします。
（体積と質量の関係が現実的ではないのはご勘弁ください）

このとき球Aと球Bの間には引力が働き球Bは球Aに近づいて行きます。
球Aと球Bが接触するまでどの位の時間がかかるでしょうか。
ただし万有引力定数G=6.67*10^-11[N・m^2/kg^2]とし、
二つの球の間には運動を妨げるものは無いとします。

設定が甘いでしょうか。
自分ででっちあげた問題なので今いちおかしいことを言っている気がします。
およそ1.76[年]となったのですが、答えは合っているのでしょうか。
どうぞご教示の程をお願い致します。

No.2 ベストアンサー 回答者： jamf0421 回答日時： 2009/06/19 16:05

運動方程式は球Bの質量をmとして

-md^2r/dt^2=G6x10^24m/r^2=(4.002x10^14)m/r^2
ですから
d^2r/dt^2=-4.002x10^14/r^2...(1)
力の向きとrの増大する向きが反対になっているのでマイナスがつきます。両辺にdr/dtを掛けます。このときd{(dr/dt)^2}/dt=2(dr/dt)(d^2r/dt^2)を知れば、
(1/2)[d{(dr/dt)^2}/dt]=(-4.002x10^14/r^2)(dr/dt)...(2)
となります。これをtで積分します。
(1/2)(dr/dt)^2=∫(-4.002x10^14/r^2)dr=4.002x10^14/r+C...(3)
となります。Cは積分定数です。r=10^10でdr/dt=0ですから
C=-4.002x10^4...(4)
となります。(4)を(3)に代入しdr/dtについて解けば
dr/dt=-{8.004x10^14/r-8.004x10^4}^(1/2)=282.9*{10^10/r-1}^(1/2)...(5)
dr/dtのプラスマイナスのうちtが増えるとrが減る方向をとっています。(5)は変数分離できて
-dr/{10^10/r-1}^(1/2)=282.9dt...(6)
の形になります。ここで
p={10^10/r-1}^(1/2)...(7)
とすれば
dr=[-{(2*10^10)*p}/(1+p^2)^2]dp...(8)
となります。r=10^10→2.1x10^3(両方の球の中心間距離）に対応してp=0→2182.2となります。さて、(6)の右辺の積分をIと置けば
I=-∫(1/p)[-{(2*10^10)*p}/(1+p^2)^2]dp=2*10^10∫(1/(1+p^2)^2)dp
この積分はp=tanθとおけば出来ます。この時、p=0→2182.2に対応してθ=0→1.5703(rad)になります。
dp=(1/cosθ)^2dθ...(9)
これを使ってIを変形しますが、2*10^10の係数を省いた部分の積分をJとします。
J=∫(1/(1+p^2)^2)dp=∫[{1/(1+(tanθ)^2)^2}{1/(cosθ)^2}dθ
=∫(cosθ)^2dθ=∫[(cos2θ+1)/2]dθ
=(1/2)[(1/2)sin2θ+θ](θ=0→1.5703)
=0.7854...(10)
これより
I=1.5708x10^10...(11)
となりこれが(6)の左辺の積分結果です。一方(6)の右辺の積分は、
[282.9t](t=0→T)=282.9T...(12)
となり、(11),(12)より
T=5.552x10^7 sec
となります。これは15423.6時間であり、642.6日であり、1.76年です。質問者さんは正解です。

この回答へのお礼

ご回答有難うございます。
これだけ数字や記号が並ぶとめまいがしてきます。
答えが合っているということで安心しました。
いまいち計算結果が信用できなくて……

お礼日時：2009/06/19 17:40

No.3 回答者： genso-cake 回答日時： 2009/06/20 02:53

#2で正解が出てますが、微分方程式について補足しておきます。

運動方程式は m * a = Fですが、
a は rをtについて2回微分したものってのは、ご存じかと思います。
ですから、m * r'' = Fというのが成り立ちます。

このような、微分の等式を微分方程式と呼びます。
運動方程式が理解できていれば、この等式自体は簡単に求められると思います。

しかし、Fが一定なら簡単ですが、rに依存した場合、
r = G(t)の形に厳密に解くのは困難です。
(というか、解けるかどうかもわからない)
一般的に解く方法は、いろいろなサイトを参照してください。

で、とりあえず数値だけほしいときは、数値計算を行います。

初速が0で、初期位置が0ならば、
1秒後の速度と位置は、v1=F/m * 1 , r1= 0 * 1
2秒後は、v2 = v1 + F/m * 1 , r2 = v1 * 1
と言うようになります。

これを何度か行っていけば、ある時間での速さ、位置が判明します。


今回の問題を数値計算してみました。
原理的にはExcelでも可能ですが、1秒おきに計算したら、
行数が65536行を超えてしまったので、Cでプログラムを組みましたが、
結果は、1.76年と出ました。


数値計算ならば、厳密解を求めなくても確かめることが可能です。
プログラムができなくても、行数が足りればExcelでもできるので、
やってみると楽しいかもしれません。

ちなみに、1秒おきでやってますが、もっと細かくすれば正確になります。
ただし、時間がかかるのでトレードオフですね。

あと、数値計算は正確性を高めるいろいろな方法があります。
オイラー法やルンゲ・クッタ法など、参照してみてください。

この回答へのお礼

有難うございます。
微分方程式はとても便利そうです。
いつかは扱えるようになりたいものです。
数値計算についても調べてみようと思います。

お礼日時：2009/06/20 22:35

No.1 回答者： genso-cake 回答日時： 2009/06/19 00:07

上記の問題の場合、

G:万有引力定数
M:球Aの質量
とおいたとき、距離rの時の加速度は、
-GM / r^2 になると思います。
加速度は、d^2r / dt^2で表せるので、
d^2r / dt^2 = -GM / r^2
という微分方程式になります。
初期条件は r'(0)= 0 (初速0) r(0)=R (=10^10)です。

さて、ここで大問題。解き方忘れた(汗)

ということで、上記の条件は合ってると思うので、
検算してあってればOKなんじゃないかなと思います。

中途半端でごめんなさい

(もっと簡単な方法だったら後学のために教えてください。)

この回答への補足

積分を用いてとりあえず一般式を求めました。
球Aの中心を原点として球Bの中心にx軸が伸びるとし、
また球Bの中心があるx点に到達するまでにかかる時間をtとする。
球Aと球Bの中心間距離をr、球Aの質量をMとして
t=[(r^3/2)/{2√(2*G*M)}]*[arcsin{(-2x+r)/r}+cos{arcsin((-2x+r)/r)}+π/2]
こんな式です。
これに諸々代入すると1.76[年]となりました。

補足日時：2009/06/19 17:36

この回答へのお礼

ご回答有難うございます。
微分方程式については手をつけたことが無いのでなんとも……
色々調べてみようと思います。

お礼日時：2009/06/19 17:35