商空間の概念が全く分かりません

http://pantodon.shinshu-u.ac.jp/topology/literat …

商空間の定義はここに書かれてある通りなのですが、
これを呼んでもどういうものなのか全くよく分かりません。
そもそも商という名前がついているのに、どこに商（割り算）のような因子が含まれているのでしょうか？
どなたか具体例を挙げて教えて下さい。

No.3 ベストアンサー 回答者： kabaokaba 回答日時： 2009/06/28 17:04

＞写像f:X->Yが空間Xより空間Yへ全射な連続写像とする。

ただしYは商位相をもっている。Zを空間としたとき写像g:Y->Zが連続である必要十分条件は、
合成写像gf:X->Zが連続写像となることである。

・・・これは定義じゃないですな．
そもそも「商空間」ですらない．
商空間にいれる「自然な位相」のことを
「商位相」というんだけども
商空間と商位相はまったく別物．
もっと初歩的な位相空間・代数・位相幾何の本を読みましょう．
その本は間違いなくあなたにはレベルが高すぎるのでしょう．

集合X上の関係Rで以下の条件を満たすものを同値関係という
Xの任意の元x,y,zにたいして
(1) xRx
(2) xRy <=> yRx
(3) xRy かつ yRz ならば xRz
この同値関係Rを用いて，Xの任意の元xに対して
集合{y∈X | yRx}を定める．これをxのRによる同値類といい
[x]と表す．
このとき，同値類の集合{[x] | x∈X}を
X/R と表し，XのRによる商集合（商空間）という．
＃これはまさに同値関係でつながるということで
＃空間を割り算しているようなもの

このとき，自然な写像
p_R: X -> X/R を p(x)=[x] によって定める．
これを商空間への「射影」と呼ぶ．

Xが位相空間であるとき，射影p_Rが連続となる
最小の位相をX/Rに導入する．
すなわち，Xの任意の開集合Oに対して，
X/Rの部分集合 p_R^{-1}(O) が開集合であるとして
X/Rに位相を導入する．
この位相のことを，X/Rの商位相という．

これを拡大解釈して，
一般に全射 f:X -> Y に対して
f^{-1}(O) (OはYの開集合)がXの位相を定めるときに
Xには商位相が入っているという．
このとき，写像g;Y -> Zを考える．
Zの開集合Oに対して，gf:X->Zに対して
(gf)^{-1}(O)= f^{-1}(g^{-1}(O))
であることに注意する．
gが連続であるならば，fが連続なので合成gfは連続
gfが連続あるならば，
(gf)^{-1}(O)=f^{-1}(g^{-1}(O))
は開集合．fは連続で，Xは商位相をもつので
Yの開集合Vが存在して，V=g^{-1}(O)とできる
すなわし，gは連続である．

以上かな．
大抵の基本的な本にはこの程度のことは
必ず出てるから，大学生にしては調べ方や
本の探し方がかなり甘いといわれても仕方がないでしょう．

No.2 回答者： kabaokaba 回答日時： 2009/06/27 22:56

>同値関係・同値類とは反射・対称・推移を満たすものであると思いますが、

>それとどういう関係があるのでしょうか？

これははあなたが
まったく定義を理解していないことを意味しています．
あなたのいう「商空間」の定義は何でしょうか？

＃同値類の集合のことを商空間っていうんだけね，普通．
＃いわゆる「等化空間」も「同値類の集合」にすぎない．

この回答へのお礼

手元の本には
写像f:X->Yが空間Xより空間Yへ全射な連続写像とする。ただしYは商位相をもっている。Zを空間としたとき写像g:Y->Zが連続である必要十分条件は、
合成写像gf:X->Zが連続写像となることである。

と書かれてあるのですが、それで結局、商位相とは何なのかさっぱり分からないのですが・・・

商位相とは同値類の集合のことなのですが、上記の話も全く関連性が見えて来ないのですが・・・

どなたか助けて下さい。

お礼日時：2009/06/28 15:12

No.1 回答者： kabaokaba 回答日時： 2009/06/27 22:00

＞商空間の定義はここに書かれてある通りなのですが、

そのページのどこに「商空間の定義」が書いてあるんですか？
定義を書いてみてください．
＃同値関係・同値類って分かりますか？

この回答へのお礼

どういうことですか？

同値関係・同値類とは反射・対称・推移を満たすものであると思いますが、
それとどういう関係があるのでしょうか？

お礼日時：2009/06/27 22:04