ベクトル内積の問題

ベクトルの(恐らく内積を使う問題)が解けなくて困っています。
以下がその問題です。

問　　四角形OAPBにおいて、∠OAP＝∠OBP＝90°、OA＝2、OB＝3、OA↑・OB↑＝2とする。

(1)OP↑をOA↑、OB↑を用いて表せ。
(2)線分OPの長さを求めよ。


(1)は
AO↑・AP↑=0
⇒ -OA↑・(-OA↑+OP↑)=0
⇒ |OA↑|^2-OA↑・OP↑=0
このとき同様に
BO↑・BP↑=0
⇒ -OB↑・(-OB↑+OP↑)=0
⇒ |OB↑|^2-0B↑・OP↑=0
故に
4-OA↑・OP↑=9-OB↑・OP↑
⇒-5=OP↑・(OA↑-OB↑)

というところまで計算して両辺を(OA↑-OB↑)で割ろうとしたのですが、内積は割り算できるのか疑問に思いました。そもそもこの解法であっているのかもわかりません。
どなたかこの問題の解説と内積の割り算は可能かどうかを教えてください！

最後まで読んでいただきありがとうございます。
見づらい文章ですいません。

No.3 ベストアンサー 回答者： sanori 回答日時： 2009/07/20 01:45

再びお邪魔します。

ＯＰ→　＝　ｓＯＡ→　＋　ｔＯＢ→
と置いて、ｓとｔを求めることを目標とし、
与えられた種々の内積や長さを代入していけば、
あとは、単なる連立方程式になります。


ベクトルを下記のように置く。
Ｏ→　＝　（０，０）
ＯＡ→　＝　（ａx，ａy）
ＯＢ→　＝　（ｂx，ｂy）　＝　（ｂx，ｂy）
ＯＰ→　＝　（ｐx，ｐy）　＝　ｓＯＡ→　＋　ｔＯＢ→　＝　（ｓａx＋ｔｂx，ｓａy＋ｔｂy）


∠ＯＡＰ＝９０°により
ａx（ｐx－ａx）　＋　ａy（ｐy－ａy）　＝　０　・・・（あ）
∠ＯＢＰ＝９０°により
ｂx（ｐx－ｂx）　＋　ｂy（ｐy－ｂy）　＝　０　・・・（い）
ＯＡ＝２　により、
ａx^2　＋　ａy^2　＝　４　・・・（う）
ＯＢ＝３　により、
ｂx^2　＋　ｂy^2　＝　９　・・・（え）
ＯＡ→・ＯＢ→＝２　により
ａxｂx　＋　ａyｂy　＝　２　・・・（お）

以上で、情報は完備です。


（あ）より、
ａxｐx　－　ａx^2　＋　ａyｐy　－　ａy^2　＝　０
これに（う）を足すと、
ａxｐx　＋　ａyｐy　＝　４
ちなみに、これは、ＯＡ→・ＯＰ→　＝　４　を表しています。
ａx（ｓａx＋ｔｂx）　＋　ａy（ｓａy＋ｔｂy）　＝　４
ｓａx^2　＋　ｔａxｂx　＋　ｓａy^2　＋　ｔａyｂy　＝　４
ｓ（ａx^2　＋　ａy^2）　＋　ｔａxｂx　＋　ｔａyｂy　＝　４
ｓ｜ＯＡ→｜^2　＋　ｔＯＡ・ＯＢ→　＝　４
４ｓ　＋　２ｔ　＝　４
２ｓ　＋　ｔ　＝　２　　・・・（あ’）


（い）より、
ｂxｐx　－　ｂx^2　＋　ｂyｐy　－　ｂy^2　＝　０
これに（え）を足すと、
ｂxｐx　＋　ｂyｐy　＝　９
ちなみに、これは、ＯＢ→・ＯＰ→　＝　９　を表しています。
ｂx（ｓａx＋ｔｂx）　＋　ｂy（ｓａy＋ｔｂy）　＝　９
ｓａxｂx　＋　ｔｂx^2　＋　ｓａyｂy　＋　ｔｂy^2　＝　９
ｓ（ａxｂx　＋　ａyｂy）　＋　ｔ（ｂx^2　＋　ｂy^2）　＝　９
ｓＯＡ→・ＯＢ→　＋　ｔ｜ＯＢ→｜^2　＝　９
２ｓ　＋　３ｔ　＝　９　　・・・（い’）

（い’）－（あ’）より
２ｔ　＝　７
ｔ　＝　２／７
これを（あ’）に代入して、
２ｓ　＋　２／７　＝　２
ｓ　＋　１／７　＝　１
ｓ　＝　６／７

よって、
ＯＰ　→　＝　ｓＯＡ→　＋　ｔＯＢ→　＝　６／７・ＯＡ→　＋　２／７・ＯＢ→

この回答へのお礼

詳しい解答をありがとうございます！
僕のほうで答えをもっていなかったので助かります。

お礼日時：2009/07/20 21:52

No.4 回答者： htms42 回答日時： 2009/07/20 09:04

ＯＰ↑＝ＯＡ↑＋ＡＰ↑

　　　＝ＯＢ↑＋ＢＰ↑
これより
ＯＰ↑・ＯＡ↑＝ＯＡ↑・ＯＡ↑＝４
ＯＰ↑・ＯＢ↑＝ＯＢ↑・ＯＢ↑＝９

ＯＰ↑＝ａＯＡ↑＋ｂＯＢ↑
と置きます。

ＯＰ↑・ＯＡ↑＝ａＯＡ↑・ＯＡ↑＋ｂＯＢ↑・ＯＡ↑
　　　　　　　＝４ａ＋２ｂ＝４
ＯＰ↑・ＯＢ↑＝ａＯＡ↑・ＯＢ↑＋ｂＯＢ↑ＯＢ↑
　　　　　　　＝２ａ＋９ｂ＝９

これでａ，ｂが決まります。


　　　　　　

この回答へのお礼

参考にさせてもらいました！
ありがとうございます。

お礼日時：2009/07/20 21:53

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2009/07/20 01:16

あるベクトルa↑に対して

a↑・b↑=x
となるb↑を決定することはできません。
あるb1↑が上記の式を満たすとすると、a↑に直行するベクトルをc↑とすると
b↑=b1↑+tc↑ (tは任意の実数)
は全て上の条件を満たすようになります。


今回の問題は、
OP↑=xOA↑+yOB↑
とおき、AP↑・OA↑=0,BP↑・OB↑=0に代入して式を導けば解けるはずです。

この回答へのお礼

いつもありがとうございます！

お礼日時：2009/07/20 21:50

No.1 回答者： sanori 回答日時： 2009/07/20 00:46

こんばんは。

ベクトル同士の割り算というものは、ありません。

内積はスカラー（ベクトルではなくて数）ですが。

とりあえず。

この回答へのお礼

早い回答ありがとうございます。
ですよね（汗
おかげでもやもやがすっきりしました＾＾

お礼日時：2009/07/20 01:08