三角形の面積～

Aが原点、B(a,b)、Ｃ(c,d)の時、
三角形の面積が
1/2｜ad－bc| で表せると思うのですが、どうしてこうなるか分るかたいますか？というより、習った記憶がないのですが、習うとしたら本来、どの段階で習うものでしょうか？

東大文系数学25ヵ年ってのを今、解いているんですが、ちょっと気になったので質問させていただきました。

No.4 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2004/12/20 23:45

証明が欲しいのであれば、

例えば、
△ABC
＝(1/2)|AB||BC|sinθ
＝(1/2)√(|AB|^2|BC|^2-|AB|^2|BC|^2cos^2)
＝(1/2)√(|AB|^2|BC|^2-(AB・BC)^2)
＝(1/2)√((a^2+b^2)(c^2+d^2)-(ac+bd)^2)
から証明できます。(ABとBCはベクトルだと考えて下さい。また、AB・BCはABとBCの内積を表します)

私は、中学生のときに、この公式(?)を聞きましたが、ちゃんとした証明を知ったのは、高校の時だった気がします。が、学校で習った記憶はあまりありません。

ちなみに、ハミルトン・ケーリーにもばっちり行列式が出てきますね。似たようなの、ではなくて、そのものですね。

No.6 回答者： dop 回答日時： 2004/12/21 00:44

すみません、訂正です。

No.5の7行目の内積ってところは外積です。大変失礼しました。

No.5 回答者： dop 回答日時： 2004/12/21 00:38

まずAB＝x、AC＝y(ただしx＝(a,b),y＝(c,d)となるベクトル)さらに二つのベクトルがなす角をθとします。

ベクトルを使って三角形の面積を表すには

S　＝　1/2|x||y|sinθ

で表せます。これを求めるためにまずはsinθを出します。
内積より

xy ＝ ac+bd ＝　|x||y|cosθ

これを変形して

cosθ　＝　(ac+bd)/(|x||y|)

さらに

sinθ　＝　√(1-cosθ^2)より、これにcosθを代入して

sinθ　＝　√(1-(ac+bd)/(|x||y|))

ですね。これを最初の面積の式に代入すると

S　＝　1/2√(|x|^2|y|^2-(xy)^2)

となります。ベクトル成分に直すと

S　＝　1/2√((a^2+b^2)(c^2+d^2)-(ac+bd)^2)

と表せます。さらにこれを整理すれば

S　＝　1/2√((ad)^2-2abcd+(bc)^2)
　＝　1/2√((ad-bc)^2)

となり、面積は必ず正になることを考えて根号をとると

S　＝　1/2|ad-bc|

と表せます。わかりにくい回答ですみません・・・

No.3 回答者： maguroya 回答日時： 2004/12/20 23:39

高校の数学で習ったかどうかは忘れましたが、ベクトルの外積を使えば計算できます。

No.2 回答者： proust 回答日時： 2004/12/20 23:01

D(a+c,b+d)をおき、

平行四辺形ABDCの面積を考えてはいかがでしょう。

今、線形代数の入門書を読んでいますが、ad-bcっていうのはこれに出てくる「行列式」っていうのみたいですね。

この回答へのお礼

なんか解けそうな気はするんですが、ちょっとわかりません＾＾；　

行列の授業もとってったんですが、受験に必要なかったり、定期考査に出なかったりでほとんど内職状態で…＾_＾；なんかハミルトン・ケーリーで似たようなのあった気が・・・↓

お礼日時：2004/12/20 23:19

No.1 回答者： 05062412 回答日時： 2004/12/20 23:00

おそらく、中学の知識で解けるのではないかと思います。

２点から、その直線が求めることができ、かつ、三角形の面積の公式が分かれば、とけますよね？