ベクトル空間の問題

問題自体をそのまま書きます

3次正方行列Aの階数が2であるという。行列Aの第1列、第2列、第3列をそれぞれa1,a2,a3とするとき、以下の量がそれぞれいくつかを答えなさい。ただしR^3は成分がすべて実数である3次元列ベクトル全体の集合を表し、行列Aの成分はすべて実数とする。

(1)a1,a2,a3の中で線形独立(1次独立)なものの最大数
(2)R^3の部分空間{u1a1+u2a2+u3a3|u1,u2,u3はすべて実数}の次元
(3)R^3の部分空間{x∈R^3|Ax=0}の次元

という問題なのですが、1番は分かるのですが、2番以降の{}の中身の読み方が分からず、どのように考えて良いかがさっぱり分かりません。
何かヒントをいただけませんか？
後これは数学の中で線形台数の範囲になると思うのですが、こういうことに関して理解していくのによい参考書またはHPを教えていただけるとうれしく思います。

No.2 ベストアンサー 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/08/07 01:10

貴方が分からないことに関するヒント：

{ なんたら | かんたら } という記法は、
「かんたら」という条件を満たす「なんたら」を
全て集めた集合　という意味です。

{ u1a1+u2a2+u3a3 | u1,u2,u3はすべて実数 } なら、
u1,u2,u3がすべて実数であるとき、u1a1+u2a2+u3a3がなす集合。

{ x∈R^3 | Ax=0 } なら、
Ax=0 を満たすような、R^3 の元 x がなす集合。

これが分かれば、自分で考えられますか？

参考URL：http://www.7andy.jp/books/detail/-/accd/31624268

No.1 回答者： settheory 回答日時： 2009/08/06 23:17

（２）はa_1 a_2 a_3　の三つのベクトルで張られる空間ということです。

あるいは、a_1 a_2 a_3　の線型結合で表されるベクトル全体ということです。

（３）AをR^3からR^3への線型写像とみることができます。ker(A)　（Aの核）の次元を求めよという問題です。こういうのは、次の定理を使うことが多いです。

V,W:ベクトル空間　Vは有限次元
f:V　→　W　線型写像　この時、

dim(V)=dim(ker(f))+dim(Im(f)) が成立します。
（Vの次元は、ｆの核の次元　＋　ｆの像の次元　に等しい）