１次方程式の整数解

11で割ると10余り、9で割ると1余るような数をm,nを使って表すとき、

11m + 10 = 9n + 1

となる。


上記はとある問題集の解説にあった内容ですが、
このような結果になる理由がよく理解できません。

11で割ると10余る数ですと、 11/m + 10
9で割ると1余る数ですと、 9/m + 1
となる気がするのですが、、、、

どなたか理由を教えて頂けますでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： -somebody- 回答日時： 2009/10/01 23:35

整数の問題はほとんど高校の教科書で扱ってくれない割に

大学受験では頻出なので
勉強には苦労されると思います。

整数など
数学で抽象的な物事を扱う時には
簡単な例からやるといいと思います。


3で割って2余る数
というのは
2,5,8…
と沢山ありますが
これらに共通しているのは
2=3×0+2
5=3×1+2
8=3×2+2
　　・
　　・
　　・

というように
(割る数)×(ある整数)+(余り)
といった関係が成立すると思います。

よって
11で割って10余る数は
10,21,32,…
10=11×0+10
21=11×1+10
32=11×2+10
　　　・
　　　・
　　　・
ここで0,1,2と変化している数をmとしたのが解説の式です。


同様にして
9で割ると1余る数は
1,10,19,28,…
1=9×0+1
10=9×1+1
19=9×2+1
28=9×3+1
　　・
　　・
　　・
となり
0,1,2,3…となる数をnとしてやれば
求める数をxとしたとき
x=11m+10
かつ
x=9n+1
となりますよね？


>11/m + 10
これの意味がいまいち掴みかねるのですが
ある数xを11「で」割る
というのは
x÷11=x/11
なので
もしかしたらなにか勘違いなさっているかもしれませんね。

No.4 回答者： noname#101087 回答日時： 2009/10/02 11:56

>11で割ると10余り .......

N を「11で割ると10余り」の場合。
11 で割った商 (の整数部分) を m とします。
そうすれば、N = 11*m + 10 なんじゃありませんか？

別の見方。
N から 10 を引いておけば 11 で割り切れるわけだから、
　(N - 10)/11 = m
これを変形して、
　(N - 10) = 11*m
　N = 11*m + 10

行き止まりの迷路にはまったら、とりあえず引き返し、ほかの道をたどるのが定石。
　　

No.2 回答者： naniwacchi 回答日時： 2009/10/01 23:32

少し言葉を補って考えてみてはどうでしょうか？

＞11で割ると10余り
「ある数を」という言葉を補ってみると
ある数を11で割ると10余り
となります。
この「ある数」は11の倍数に10足したものになるので、11m + 10という形に表すことができます。

＞11/m + 10
これは「11を mで割ったものに10を加える」となります。
「を」と「で」というところがミソですね。

No.1 回答者： proto 回答日時： 2009/10/01 23:32

あなたの言うとおりでしたら、

　「11で割ると10余る数」
が
　11/m+10
です。
では実際に、「11で割ると10余る数」である11/m+10を11で割ってみて余りが10になるかどうか確かめてみてください。
　(11/m+10) ÷ 11 = ？


あとは、mに具体的に1,2,3,4,...を代入してみるとか
　11/1+10 = 21　(←11で割ってみてください)
　11/2+10 = そもそも整数にならない...
　11/3+10 = そもそも整数にならない...
　11/4+10 = そもそも整数にならない...


一方、11m+10は
　11*1+10 = 21　(←11で割ってみてください)
　11*2+10 = 32　(←11で割ってみてください)
　11*3+10 = 43　(←11で割ってみてください)
　11*4+10 = 54　(←11で割ってみてください)