球面と平面の問題です。解法を教えてください。幾何学

いつもお世話になってます。

教科書には類題が載っておらず、解を導く糸口さえ見つかりません。
よろしければ、解を導く手順や解説を教えてください。



方程式x^2+y^2+z^2-2x+10y-10=0で表される球面をSとするとき、次の問いに答えよ。

(１)球面Sが平面2x+y-2z=9と交わってできる円の中心の座標と半径を求めよ。

(２)点(3,-2,√3)と球面S上の点との距離の最小値を求めよ。


方程式から
球面Sは(x-1)^2+(y+5)^2+z^2=6^2が求まり、
中心が(1,-5,0) 半径が6
というところまでわかりましたが、先に進みません。

よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2009/10/30 23:52

#2です。

A#2に添付した図からもわかると
思いますが点B(3,-2,√3)が球面Sの内部にありますので、
（２）の手順を以下のように一部修正します。

>手順１）
>点A(1,-5,0) と点B(3,-2,√3)を結ぶ線分ABの長さLを求める。
（計算するとL=AB=4になりますね)

>手順２）
>球面Sとの交点をC(xc,yc,zc)とすると
>最小距離の点が点Cとなる。距離の最小値はBC。
>BC=AB-6　を求める。
BC=6-AB
と訂正。AB=L=4ですから　BCが求まりますね。
6は球面Sの半径です。

分からない場合は、そこまでの途中計算を補足に書いて、行き詰っている箇所のどこが何が分からないのか、質問して下さい。

この回答へのお礼

いつもいつも助けて貰って、とても感謝しています。

図をつけて解説していただき
わかりやすかったです。

どんな問題も適切に説明していて尊敬します。

ありがとうございました。

お礼日時：2009/10/31 22:54

No.3 回答者： gohtraw 回答日時： 2009/10/30 00:00

（１）中心の座標が判っているので、中心からこの平面までの距離も判りますね。

球の中心をＯ,Ｏから平面に下ろした垂線の足をＰ，求める円の周上の点をＱとすると△ＯＰＱは直角三角形なので・・・。そしてＰが求める円の中心ですね。
（２）二つの点を通る直線がどこを通るときに二点の距離は最小になるでしょうか？

No.2 回答者： info22 回答日時： 2009/10/29 23:54

(1)

手順１）
球の中心の点A(1,-5,0)から平面に下ろした垂線の足の座標H(xo,yo,zo)を求めればよい。
手順２）
その足Hの座標が円の中心座標になる。
手順３)
AHの長さは、点Aから平面に下ろした垂線の長さ（点と平面の距離）d
の公式を使うだけ。
手順４）
円の半径r=√(6^2-d^2) から計算する

（２）
手順１）
点A(1,-5,0) と点B(3,-2,√3)を結ぶ線分ABの長さLを求める。
手順２）
球面Sとの交点をC(xc,yc,zc)とすると
最小距離の点が点Cとなる。距離の最小値はBC。
BC=AB-6　を求める。

手順に従って、教科書や参考書あるいはネット検索で調べてやってみて下さい。
質問があれば、そこまでの途中計算を補足に書いて、その先の何処が分からないかを質問して下さい。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/10/29 23:53

どちらも同じですが, 状況がイメージできているでしょうか? イメージできているなら, さほど難しい問題ではありません.

あるいは, 1つ次元を落として 2次元で類似の問題を考えてみてはどうでしょうか. (1) は「円と直線が交わってできる弦の中点の座標と長さ (の半分)」に対応しますし, (2) は「円周上の点と (その外の) 点との距離の最小値」になります. こちらはできますか?