A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
#2 でもいわれてますが, 「ジグザグ」のところを適当な写像で与えてしまえば OK. 既約であるものだけを考えるとむしろ面倒で, 全て数えてしまえば簡単です.
ちなみに「濃度が等しい」ことを「対等」っていう>#2. 記号だと N~Q とか書いたりします.
No.2
- 回答日時:
口語的であることを嫌うなら、まず、
「対等」という余りにも口語的な表現を
どうにかしよう。
これを「等濃度」と書き換えようとすれば、
「濃度」の定義を確認せざるを得ず、
自然と、証明の流れが見えてくる。
「等濃度」を定義するには、通常は、
集合 A の部分集合と集合 B の間に
全単射が存在することを
「A の濃度は B の濃度以上」と定義し、
A の濃度が B の濃度以上かつ以下であることを
「A と B は等濃度」とする。
してみると、自然数と正の有理数が等濃度
であることを示すには、
自然から正の有理数への全射と単射が、それぞれ
存在することを挙げればよい。
その全射と単射が、ひとつの全単射である必要
はなく、別々の写像であってよい。
だから、有理数に付番するとき、
既約分数に限らなくても、分子と分母の対を
皆数えてしまえばよい。
そうすることで、「ジグザグ」の箇所が
簡潔に言い表せるようになる。
自然数が有理数に含まれる
ほうの話は、自明だから。
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