No.3ベストアンサー
- 回答日時:
二つの正方行列X, Yに対して、
「XY = YX」となるようなXとYのペアの関係を
「X~Y」とでも表すことにしましょう。
行列では一般に交換法則は成り立ちませんが、
たまたま交換しても等しくなるようなペアを考えるわけです。
この「~」は反射律・対称律は満たしますが、推移律を満たしません。
・反射律
任意の正方行列Aに対して、AA = AAですから、A~A です。
・対称律
A~Bを満たす A, B は定義より AB = BA を満たし、
これは BA = AB と同じことですから、B~A も満たすことになります。
・推移律
正方行列には単位行列Eというものが存在しますから、
任意の正方行列 A,B に対し、
AE = EA すなわち A~E
EB = BE すなわち E~B
が成り立ちます。推移律が成り立つとすれば
A~E かつ E~B ならば A~B
となるはずですが、一般にAB = BAとは限りませんから、
推移律は成立しません。
なお、ここでは例として正方行列を挙げましたが、
いわゆる「非可換群」一般について同様のことが言えます。
No.2
- 回答日時:
こんにちは。
なかなか難しいですね!まず定義から、
**********************************
集合Xの2つの要素の間に関係~が定義されていて、
反射律(1)x~x
対称律(2)x~y → y~x
推移律(3)x~y、y~z → x~z
の3つの条件を満たすとき、関係~を同値関係という。
**********************************
例が見つからなかったので、探してみたところ、下のような解答が
ありました。
[反射律 対称律 ]が成立
〇A:東海道新幹線のひかり号の停車駅
〇aRb:a駅を通りb駅も通る新幹線以外の鉄道路線が存在する
反射律・対称律は問題なく成り立つ(集合をひかり号停車駅に限定したのは、他に路線の通らない新富士を除外するため)。推移律が成り立たないのは、例えば、東京・名古屋では東海道線が、名古屋・岐阜羽島では名古屋鉄道が通る路線として存在するが、東京・岐阜羽島では共通の路線が存在しないため。
なかなか、自分では思いつかないと思います。
同値関係を探すのは簡単でも、推移律だけを満たさないのは、なかなか
ないと思います。
ご参考になれば幸いです。
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