線形代数 内積について

線形代数　内積について

ベクトルaとベクトルbの内積をa・bと表します。
2つのベクトルの内積はa・b=｜a｜｜b｜cosθで表されます。

内積とはベクトルbのベクトルaへの正射影と説明されていたのですが
定理より、a・b=b・aが成り立つことから、ベクトルaのベクトルbへの
正射影と考えても良いですか？

また、a・b=｜a｜｜b｜cosθにおける｜｜記号は絶対値記号として捉えて
良いでしょうか？

ご回答よろしくお願い致します。

No.4 ベストアンサー 回答者： htms42 回答日時： 2010/03/29 15:13

＃３のご回答の補足です。

＞「a の b への正射影」と言ったとき、
a・b を指している場合と
(a・b/｜b｜) b を指している場合があり、
・・・・・
後者の意味であれば、
そのふたつは違います。

「後者の場合」というのは
物理で出てくるベクトルで言うと
・ａのｂ方向成分・・・・ａｃｏｓθ
・ｂのａ方向成分・・・・ｂｃｏｓθ
ということです。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

後者の意味で捉えており、不思議に感じたので質問させて頂いた次第です。
やはり、aのb方向成分とbのa方向成分のベクトルは違うと感じていました。

内積の場合はスカラー量であるから、(aのb方向成分×b)と(bのa方向成分×a）は等しいと言うことですね。
だから、｜｜記号が必要なのですね。

また追加で質問なのですが、内積のイメージをいまいち理解しきれていないのですが、
2つのベクトルabにおいてベクトルbをベクトルa成分に写すと考えると、
a・b＝｜a｜+|b|cosθのイメージなのですが・・・
内積（絶対値aベクトルと絶対値bベクトルのa方向成分の積）は何を表しているのでしょうか？
（内積の証明があったので見直してみます。）

理解不足で申し訳ないのですがご回答よろしくお願い致します。

補足日時：2010/03/30 00:12

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。もっと勉強します。

お礼日時：2010/04/06 01:52

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2010/03/26 23:52

「正射影」のほうについては、

「a の b への正射影」と言ったとき、
a・b を指している場合と
(a・b/｜b｜) b を指している場合があり、
前者の意味であれば、
「a の b への正射影」と「b の a への正射影」
は同じですが、
後者の意味であれば、
そのふたつは違います。

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2010/03/26 23:43

｜a｜は、ベクトル a の「長さ」ですが、

絶対値記号を使って表記することから
「ベクトルの絶対値」と言ってしまうことも多く、
転じて、「絶対値」という言葉のほうを
ベクトルの長さも含むように拡大解釈する
ようになっています。
結論としては、「ベクトルの絶対値」で
十分通じます。

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2010/03/26 22:50

>ベクトルaのベクトルbへの

>正射影と考えても良いですか？
それで良いです。

>a・b=｜a｜｜b｜cosθにおける｜｜記号は絶対値記号として捉えて
良いでしょうか？

絶対値記号でいいですが、実数の絶対値ではなく、ベクトルに拡張した場合の絶対値です。
ベクトルの絶対値はベクトルの大きさ（長さ）として定義されます。
ベクトルaをx,y成分で表せば、a=(x,y)
このaの絶対値は|a|=√(x^2+y^2)で定義されます。