内積と外積について
2つのベクトルをA,Bと表し、2つのベクトルのなす角をθとします。
また、A=(ax,ay,az),B=(bx,by,bz)です。
内積はA・B=|A||B|cosθと表されこれはスカラー量です。
内積はAのBへの正射影とBの積(もしくは、BのAへの正射影とAの積)と認識しています。
また、A・B=axbx+ayby+azbzとも表されこれはスカラー量です。
A・B=|A||B|cosθ,A・B=axbx+ayby+azbzはどちらも内積の定義なのでしょうか?
外積は|A×B|=|A||B|sinθと表されますが、これもスカラー量ですよね。
外積はベクトル積と呼ばれることもあるようですが、
これは、外積の定義A×B=(aybz-azby,azbx-axbz,axby-ayax)がベクトルとなるからベクトル積と
言われるのでしょうか?
|A×B|=|A||B|sinθは定義ではないのですか?
以上、よろしくお願い致します。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
内積の定義は、
固有値がどれも正の値であるような
対称行列 G を係数として、
a・b = (aの転置) G b
です。(右辺は行列積です)
G の各成分の値は、a,b が属するベクトル空間の
基底のとりかたしだいで変わりますが、
上手い基底を選ぶと、G が単位行列になる
ようにできます。その基底のもとで、
内積の成分表示は、三次元の場合、
a・b = ax・bx+ay・by+az・bz
と書けます。こっちの式のほうが、
本来の定義に近いですね。
cosθ が入ったほうの式は、
内積ではなくて、「なす角」の定義ですよ。
コーシー・シュワルツの不等式によって、
内積÷ベクトルの大きさの積は
-1 ~ 1 の値であることがわかるので、
それが =cosθ となるような実数 θ を
決めることができるのです。
そのような θ を、二つのベクトルの「なす角」
と呼びます。
外積の定義は、ベクトル値のほうが正解。
スカラーのほうは、外積ベクトルの大きさに
適当な符号をつけたもので、
外積そのものとは、違います。
No.4
- 回答日時:
>外積は|A×B|=|A||B|sinθと表されますが、これもスカラー量ですよね。
前半は間違い。外積はA×Bであって、|A×B|は外積A×Bの大きさ。だからスカラーになるのは当たり前。外積はベクトルです。
No.2
- 回答日時:
内積自体はスカラーで、外積自体はベクトルですよ。
|A×B|は外積A×Bの大きさですよ。だから、|A×B|=|A||B|sinθは外積A×Bの大きさの定義であって、外積自体の定義ではありません。
No.1
- 回答日時:
イヤ、ダイガクデハ
ナイセキヲA・B=axbx+ayby+azbzトテイギシテ、コウコウデハcosヲツカッテ
テイギスルカラドッチヲテイギシテモカマワナイ。
ガイセキモオナジコト。
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