合成関数{f(g(x))}の微分についての次の証明は、厳密に言うと間違っているらしいです。
どこがおかしいのか教えてください。
lim(h→0) f(g(x+h))-f(g(x))/h
=lim(h→0) f(g(x+h))-f(g(x))/g(x+h)-g(x)・g(x+h)-g(x)/h
ここでg(x)=t、g(x+h)=t+sとおくと、s=g(x+h)-g(x)だから
h→0のときs→0である。よって
lim(s→0) f(t+s)-f(t)/s・lim(h→0) g(x+h)-g(x)/h
=f´(t)g´(x)=f´(g(x))g´(x)
A 回答 (6件)
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No.6
- 回答日時:
他の回答にもあるように、問題点は、
つまり、g(x) が、xの周りで一定値だったらどうなのか、
( g(x+h)-g(x) = 0 になんで、割れない )
ということなわけです。
昔同じような質問に答えました。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/5395029.html
No.5
- 回答日時:
値の計算は概ねそれでよいが、
収束性に関する議論が抜け落ちている。
厳密さを要求するのならば、
lim を二つの lim の積へ分解する際に、
分解した両方の lim が収束することを
示しておかなければいけない。
右辺左側の lim の収束は、f の微分可能性から
示せるが、その工程を少し記述しておいたほうが、
理解も深まるし、答案としての好感度も高いはず。
No.4
- 回答日時:
ゲンミツガドウノコウノヨリモ、シッカリショウメイスルノナラバ
シッカリ、g(x)ガレンゾクカツビブンカノウナノデ
「h→0のときs→0である」ノト「lim(h→0) g(x+h)-g(x)/h=g'(x)」
トイウコトヲイワナイトイケマセン。
ソレガワカッテカイテアルナラバオッケイダ。
No.1
- 回答日時:
こんにちわ。
「厳密に言うと」とのことですので、おそらく次のところかと。
lim(s→0) f(t+s)-f(t)/s・lim(h→0) g(x+h)-g(x)/h
h→ 0のとき、s→ 0になることを述べているので、
lim[h→ 0] { f(t+s)- f(t) }/s・{ g(x+h)- g(x)}/h
とすればよいと思います。
要は、hが 0に近づくと「同時に」sも 0に近づくことになるので、
h→ 0, s→ 0と別々に極限を取るのではなく、h→ 0だけでよいということだと思います。
過去に似たような質問もありましたので、一応URLをつけておきます。
参考URL:http://okwave.jp/qa/q5835768.html
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