証明の仕方教えてください、

線形写像に関する次元公式　dimV=dim Ker(φ)+dimφ(V) を用いて『有限次元ベクトル空間の線形変換φは、単写であることと、全写であることが同値である』ことを証明せよ。

という問題なのですが、どのような手順を踏んでいったらよいのか分かりません。ヒントで十分ですのでぜひお手伝いしていただけたらと思います。
お願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： waseda2003 回答日時： 2003/07/12 15:07

＃１の者です。

認めることが多すぎて，問題として述べることがほとんどないことが，気になってはいました。
結局，「次元，単射，全射がよくわからない」ということでしょうか。

φが単射 ⇔「φ(u)=φ(v) ならば u=v」（「単射」の定義）
　　　　　⇔「φ(u-v)=0 ならば u-v=0」（線型性より）
　　　　　⇔「φ(v)=0 ならば v=0」
定義は「u≠v ならば φ(u)≠φ(v)」と表されることもありますが，上の表記と同値ですね。

次に，全射についてですが，純粋な包含関係ではなく，次元で決まってしまうところが，線型空間の特殊なところです。

φが全射 ⇔ φ(V)=V ⇔ dim(V)=dim(φ(V))
の最後の同値関係を示すには，

WをVの線型部分空間（W⊆V）とするとき，
W=V ⇔ dim(W)=dim(V)

であることを示せば十分です。
次元が「線型独立なベクトルの最大個数」もしくは「基底をなすベクトルの個数」であることを考えれば，⇒は明らかですね。逆を示します。

{w_1，w_2，・・・，w_n}をWの基底とします。
（n=dim(W)=dim(V)）

vをVの任意のベクトルとすると，線型独立なベクトルの個数の最大性より，v，w_1，w_2，・・・，w_n は線型従属となります。
したがって，(c，c_1，c_2，・・・，c_n)≠(0，0，・・・，0)
なるスカラーを用いて

　cv+c_1*w_1+c_2*w_2+・・・+c_n*w_n=0

と表されます。ここで，c=0とすると，

　c_1*w_1+c_2*w_2+・・・+c_n*w_n=0

より c_1=c_2=・・・=c_n=0 となって仮定に反するので，
c≠0です。
そこで，-c_k/c = a_k（k=1，2，・・・，n）とおくと

　v = a_1*w_1+a_2*w_2+・・・+a_n*w_n ∈ W

となって，V⊆Wが示されました。

以上の議論は，次元定理（次元公式）に行き着くまでに，何度か現れる手法です。
問題文では「・・・は認めてよい」となっていますが，勉強としてはその部分の確認から始める方が良いと思います。

No.2 回答者： F0ur1er 回答日時： 2003/07/12 01:03

こんにちは。

#１の方の方法でいいと思いますよ。
それでも難しいなら、例を挙げてみたいと思います。

線形写像 ｆ：Ｒ^ｎ→Ｒ^ｎ
に対して上のことを示します。

ｆが単射なら、Ker ｆ＝{０}．故に次元公式から
dim(Im ｆ)＝ｎ　∴Im ｆ＝Ｒ^ｎ
逆に、ｆが全射なら、Im ｆ＝Ｒ^ｎ
故に、dim(Im ｆ)＝ｎだから次元公式から
dim(Ker ｆ)＝０．従って、Ker ｆ＝{０}

同様にＲ^ｎ＝Ｖとすれば証明できるのでは。

また、ｆ：単射⇔Ker ｆ＝{０}
というのは、定義とｆが線形だから
ｆ(v_1－v_2)＝ｆ(v_1)－ｆ(v_2)
がいえるので、
ｆ(v)＝０⇒v＝０（v∈Ｒ^ｎ[又はＶ]）
が成り立つのと同値ですね。
さらに、dim(Im ｆ)＝dim ｆ(Ｖ)も定義から分かりますね。
それでは、頑張って下さい。

No.1 回答者： waseda2003 回答日時： 2003/07/11 19:36

この次元公式を認めれば，

Ker(φ)={0} ⇔ φ(V)=V

は明らかなのではないでしょうか。

（Ker(φ)={0}は単射の言い換え，φ(V)=Vは全射の言い換え）

この回答への補足

(?.?) 申し訳ありません。
もう少し詳しく教えていただけますか。

補足日時：2003/07/11 20:55