質問：この積分の問題ができません

この積分の問題ができません。誰かやり方を教えてください。(答えまでのプロセスも)
次の関数を積分せよ

e^√ｘ
1／(X＾3－1)

No.3 回答者： siegmund 回答日時： 2001/04/08 00:54

siegmund です．

２番目の問題，sumou111 さんの計算にちょっとミスがあるようです．
私の回答と比べますと，
(1/6) log |(x-1)^3 / x^3 -1| の第１項は本質的に同じ，
第２項が，
私の方は - (1/√3) arctan {(2x+1)/√3}，
sumou111 さんの方は +3√3/16・arctan[2/√3(x+1/2)] です．
arctan の中身は同じですが，前の係数の符号と大きさが違います．

符号は，部分分数展開のミスから来ています．
a=-1/3,b=-2/3,c=1/3 が正しいです．

大きさの方は，

1/6・log(x＾2+x+1)+1/2・∫[1/(3/4・tan＾2 A+3/4)・√3/2・1/cos＾2A]dA

=1/6・log(x＾2+x+1)+3√3/16・∫[1/(tan＾2 A+1)・1/cos＾2A]dA

の１行目から２行目に移るところにミスがあります．
２行目の第２項の前の係数は
(1/2)×{(3/4)^(-1)}×(√3/2) = 1/√3
が正しいですね．

この２箇所を訂正すれば私の回答と同じになります．

１番目の問題は私の計算も sumou111 さんと同じです．

揚げ足取りみたいで失礼しました．

No.2 回答者： sumou111 回答日時： 2001/04/07 17:57

(1) √x=tと置換すると、x=t^2 → 両辺tで微分するとdx/dt=2t → dx=2t・dt

これを与式に代入すると

∫e^√ｘ・dx

=∫e^t・2t・dt

=2∫t・e^t・dt

=2(t・e^t-∫e^t・dt)

=2(t・e^t-e^t)

=2e^t(t-1)+C (C:積分定数）

(2)∫1/(X＾3－1)・dx

=∫1/(x＾2+x+1)(x-1)・dx

ここで1/(x＾2+x+1)(x-1)を (ax+b)/(x＾2+x+1)+c/(x-1)に部分分数に分解してa,b,cを求めるとa=1/3,b=2/3,c=1/3 （この計算は自分でやって下さい）
よって

∫1/(x＾2+x+1)(x-1)・dx

=∫1/3・[(x+2)/(x＾2+x+1)+1/(x-1)]・dx

=1/3・[∫(x+2)/(x＾2+x+1)・dx+∫1/(x-1)・dx]・・・（ｘ）

ここで分かりやすいように、(ｘ)を(i)1/3・[∫(x+2)/(x＾2+x+1)・dx]と
(ii)1/3[∫1/(x-1)・dx]に分けて考えます。

（i)=1/3・[1/2・∫(2x+4)/(x＾2+x+1)・dx]

=1/6・[∫(2x+1+3)/(x＾2+x+1)・dx]

=1/6・[∫(2x+1)/(x＾2+x+1)・dx+∫3/(x＾2+x+1)・dx

=1/6・log(x＾2+x+1)+1/2・∫1/(x＾2+x+1)・dx

=1/6・log(x＾2+x+1)+1/2・∫1/[(x+1/2)＾2+3/4]・dx

第二項について考える。x+1/2=yと置換するとx=y-1/2になるので両辺をyで微分するとdx=dyになる。これを第二項に代入すると、

1/6・log(x＾2+x+1)+1/2・∫1/(y＾2+3/4)・dy

さらに第二項について考える。y=√3/2・tanAと置換して両辺yで微分すると
dy=√3/2・1/cos＾2 A・dAになるので、これを第二項に代入すると、

1/6・log(x＾2+x+1)+1/2・∫[1/(3/4・tan＾2 A+3/4)・√3/2・1/cos＾2A]dA

=1/6・log(x＾2+x+1)+3√3/16・∫[1/(tan＾2 A+1)・1/cos＾2A]dA

=1/6・log(x＾2+x+1)+3√3/16・∫[cos＾2 A・1/cos＾2A]dA

=1/6・log(x＾2+x+1)+3√3/16・A

y=√3/2・tanAと置換したので、Aについて解くとA=arctan(2/√3y)
x+1/2=yと置換したので、A=arctan[2/√3(x+1/2)]
よって(i)=1/6・log(x＾2+x+1)+3√3/16・arctan[2/√3(x+1/2)]

(ii)=1/3[∫1/(x-1)・dx]

=1/3・log(x-1)

与式=1/6・log(x＾2+x+1)+3√3/16・arctan[2/√3(x+1/2)]+1/3・log(x-1)

=1/6・log[(x-1)＾2/(x＾2+x+1)])+3√3/16・arctan[2/√3(x+1/2)]

答えがきれいじゃないので、合っているかどうか自信がありません。もし間違えていたら直してください。

No.1 回答者： siegmund 回答日時： 2001/04/07 02:49

(A) e^√ｘ は √ｘ＝ｙ と置換すれば簡単です．

(B) 1/(x^3-1) は
(1)　　1/(x^3-1) = (1/3){1/(x-1) - (x+2)/(x^2+x+1)}
と部分分数展開します．
｛｝の第１項は簡単．
第２項は，分母を x^2+x+1 = [x+(1/2)]^2 + (3/4) の形に平方完成して，
x + (1/2) = t とおけば，分母は t^2 + (3/4) の形．
分子は x + 2 = t + (3/2)
分子のｔの方は，t^2 = u とでも置けば簡単．
(3/2) の方は，よく知られた 1/(t^2 + a^2) の形の積分に帰着できます．
結局，答は
(1/6) log |(x-1)^3 / x^3 -1| - (1/√3) arctan {(2x+1)/√3}