微分積分の極限についての問題がわからないです。

微分積分についての問題がわからないので、解答を教えて欲しいです。答えだけでなく過程も知りたいです。問題は以下通りです。
n,kを整数とするとき lim(n→∞) (1/(n^2) ) ∑(n , k=1) sqrt(n^2 - k^2)を求めてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/08/08 23:03

これはよく知られた例題です。

　lim (1/n²)Σ√(n²-k²)=lim Σ{√(1-(k/n)²)} (1/n)・・・積分の定義
　=∫[0,1] √(1-x²) dx=∫[0,π/2] cos²θdθ (x=sinθと変換)
　=∫[0,π/2] (1+cos2θ)/2 dθ
　=(1/2)[θ+(1/2)sin2θ] [π/2,0]
　=(1/2)(π/2+0-0)=π/4