f(z)=|z|^2はz=0では正則ではないことを示せ。

f(z)=|z|^2はz=0では正則ではないことを示せ。

解答
f'(0) = lim[z->0] {f(z)-f(0)}/z
= lim[z->0] z~
となり、z=0で微分可能。
z=0で正則とは0のある近傍で正則ということであるが、
z≠0のときf(z)=x^2+y^2はコーシー・リーマンの方程式を満たさない。

…と載っているんですが、微分可能性にはついては先ほど質問し解決しました。
今度は正則について確認です。

f(z)={√(x^2+y^2)}^2
=x^2+y^2
=u+iv
で
実部uはx^2+y^2
虚部vは0
u_x = 2x ≠ v_y =0
v_x = 0 ≠ u_y = 2y
これらが一致しないので正則ではない

…という答えでいいですか？
間違っていたら訂正をお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2010/07/27 11:57

コーシー・リーマンの条件は、

u_x = v_y, v_x = u_y ではなく、
u_x = v_y, v_x = -u_y です。
教科書など確認のこと。

この回答へのお礼

実はその負符号を忘れた、と質問後に気付いたのですが、後の祭りでした。
やはり、コーシー・リーマンの方程式を満たしてないので正則ではない、という結論でよさそうですね。
ありがとうございました。

お礼日時：2010/07/27 12:04