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a>0、b>0の時(a+b)(1/a+1/b)≧4が成り立つ事を調べよ。

まず、左辺を展開して1+a/b+b/a+1。これを整理して、2+{(a^2+b^2)/ab}
このような式変形でいいのでしょうか?ここから先はどのように証明していくのですか?相加・相乗平均を使うのかなとは思っています・・・簡単な事を質問しているかもしれませんが、教えて下さい。

A 回答 (7件)

ti-zuさん、こんばんは。


沢山回答が寄せられていますので、回答する必要ないかなと思っていたのですが
ti-zuさんが混乱するといけないので、ちょっと参加させてくださいね。

まず、
>a>0、b>0の時(a+b)(1/a+1/b)≧4が成り立つ事を調べよ

ですから、#2PAPさんの方法で分母を払っても問題ないと思います。


(a+b)(1/a+1/b)≧4
⇔1+b/a+a/b+1≧4
⇔2+(a^2+b^2)/ab≧4
⇔(a^2+b^2)/ab≧2

このやじるしは、同じこと、という意味です。
つまり、
(a^2+b^2)/ab≧2
を示せばいいです。
今、a>0,b>0ですから、ab>0なので両辺にabをかけてもいいですので
(a^2+b^2)≧2ab
(a^2+b^2)/2≧abを示せばいいです。

これは、相加平均・相乗平均の
(x+y)/2≧√xy
において、x=a^2,y=b^2
を代入してやった式にほかなりませんから、

(a^2+b^2)/2≧ab

は成り立ちます(等号は、a^2=b^2のとき、すなわち
a>0,b>0より、a=bのとき)

#4mirage70さんの、最初から相加平均・相乗平均を使う方法もいいと思います。
頑張ってください。
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この回答へのお礼

fushigichanさんのお礼欄を借りて、まとめてお礼をさせていただきます。みなさんの丁寧な回答のお陰で証明ができました。有難うございました。また私の考え方も合っていたと言うことが分かり、安心しました。
これからも、質問した際には宜しければ回答して下さい。

お礼日時:2003/07/30 06:39

#2 PAPさん



aとbの積が ab<=0 のときは成立しません。

証明の中で分母を払っています。負の場合は不等号の
向きが逆になります。
不等式の計算のときは分母を払うより通分のほうがいいです。計算を書くのは面倒になりますが。
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コーシーシュワルツの不等式より



{(√a)^2+(√b)^2}{(1/√a)^2+(1/√b)^2}≧{(√a)(1/√a)+√b(1/√b)}^2

∴(a+b){(1/a)+(1/b)}≧4

等号成立条件は√a:√b=(1/√a):(1/√b)より、a=b

同じ事ですが、(ベクトルの→は省略、p,qがベクトル、a,b>0)
p=(√a,√b),q=(1/√a,1/√b)とおくと、
|p|^2=a+b,|q|^2=(1/a)+(1/b)、p・q=2

-|p||q|≦p・q≦|p||q|より、
|p|^2|q|^2≧(p・q)^2

∴(a+b){(1/a)+(1/b)}≧4

等号成立はpとqが平行の時、すなわちa=bの時
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他の方で、解答はでていますが、


相加・相乗平均を使うのかなとは思っています・・・
此を最初から使ってはいかがですか。
a>0、b>0より、(a+b)>0,(1/a+1/b)>0
よって、、(a+b)/2>=√(ab) , (1/a+1/b)/2>=√(1/ab)
∴((a+b)/2)((1/a+1/b)/2)>=(√(ab))(√(1/ab))
此処で、(√(ab))(√(1/ab))=1
よって、((a+b)/2)((1/a+1/b)/2)>=1
∴((a+b)/2)((1/a+1/b)/2)>=4

まず、左辺を展開して1+a/b+b/a+1。これを整理して、
2+{(a^2+b^2)/ab}
(a-b)^>=0を利用します。
(a-b)^2=a^2+b^2-2ab>=0よって(a^2+b^2)>=2ab
(a^2+b^2)/ab>=2ab/ab
2+(a^2+b^2)/ab>=2+2ab/ab=4
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展開した段階から説明します。


1+a/b+b/a+1=2+a/b+b/a
a/b+b/aについて相加・相乗平均をつかえば
a/b+b/a≧2√(a/b×b/a)=2
つまり2+a/b+b/a≧4
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1/a+1/b の部分に注目してください。


これを通分してみると、分母が ab で分子が・・・
何か見たことあるような数式になりませんか?

いいから答えを!というときは下の続きを見てください。




a>0、b>0の時
(a+b)>0
(1/a+1/b)>0
故に
(a+b)(1/a+1/b)>0
次に
(a+b)(1/a+1/b)≧4
(a+b){(a+b)/ab}≧4
(a+b)^2≧4ab
(a-b)^2≧0
です。
a、bのいずれかまたは両方がゼロの場合、ゼロの割り算をどう習っているかわかりませんので、できないことにしておきましょう。
この式はa、bのいずれかまたは両方がゼロでない場合、正の数でも負の数でも成り立つように思いますが、a=-bの場合だけ成立しません。解答例の最初に書いたのは「a=-bにならない」ことの証明です。この部分が問題のキモなんでしょうね。
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(a+b)(1/a+1/b)≧4・・・(1)の成立を証明することは



2+{(a^2+b^2)/ab} ≧4
さらに式を変形して

(a^2+b^2) ≧ 4ab
 a^2 + b^2 -2ab ≧ 0 ・・・ (2)の成立を示せばいいわけですね。
(2)は a^2 + b^2 -2ab =(a-b)^2 ≧0
で常に成立するので(1)も成り立つ。

ということでいかがでしょうか?
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