数列a[n+1]=a[n]/(1+a[n])^2,a[1]=1/2 - 数学 - 教えて！goo

>はさみうちをするのだとは思うのであるが、その前のひと工夫がわからない。

ひと工夫ってこんなこと？小問の利用？

0<(1/n)Σ[k=1,n]a[n]/n<(1/n)Σ(1/2k)=(1/2n)(∫[1,n]dx/x+1)
これで、n→∞ とすればよい。

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数列 a[n] は有限値に収束するとします. このとき, 最初の n項の平均からなる数列 b[n] = (a[1] + ... + a[n])/n は a[n] と同じ値に収束します. ということで, これを証明しに行ってしまってもいい.
あるいは, a[n] < 1/(2n) が分かっているんだから a[1] + ... + a[n] を「定積分を使って上から抑える」ことも可能.

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特に工夫することもなく, 素直に ε-δ でいいと思う.
ちなみに極限値は推測できてますか?

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