ガチ急ぎです！【大学数学】【解析】 有界な数列｛a_n｝について、k>0として ①lim sup k

ガチ急ぎです！【大学数学】【解析】

有界な数列｛a_n｝について、k>0として
①lim sup k（a_n）=k lim sup（a_n） (両辺n→∞）
②lim inf a_n=-lim sup (-a_n) （n→∞）

①、②がそれぞれ成り立つことを示せ。

よろしくお願いします。示すことができませんでした。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/11/25 09:49

k>0

limsup_{n→∞}(a_n)=lim_{n→∞}sup_{m≧n}(a_m)=α…(1)
limsup_{n→∞}k(a_n)=lim_{n→∞}sup_{m≧n}k(a_m)…(2)
とすると

任意のεに対して
ε/k>0に対して
ある自然数n_0が存在して
n>n_0となる任意の自然数nに対して
sup_{m≧n}(a_m)=b_n
が存在して

m≧nとなる任意の自然数mに対して
a_m≦b_n
だから
k(a_m)≦k(b_n)
任意のδ>0に対して
δ1=δ/kとすると
b_n-δ1<a_mとなるa_mがある
k(b_n-δ1)<k(a_m)
k(b_n)-kδ1<k(a_m)
k(b_n)-δ<k(a_m)
だから
sup_{m≧n}k(a_m)=k(b_n)…(3)

|b_n-α|<ε/k
|k(b_n)-kα|<ε
だから
lim_{n→∞}k(b_n)=kα
↓これと(3)から
lim_{n→∞}sup_{m≧n}k(a_m)=kα
↓これと(2)から
limsup_{n→∞}k(a_n)=kα
↓これと(1)から
limsup_{n→∞}k(a_n)=k limsup_{n→∞}(a_n)