数学ではよく、両辺を2乗しますが、それができるのは2乗した式と2乗する前の式が同値のときだけですか？

数学ではよく、両辺を2乗しますが、それができるのは2乗した式と2乗する前の式が同値のときだけですか？

例えば、A=B
2乗すると、A^2=B^2
これができるのはA^2=B^2⇔A=B(A=-Bという可能性がない)ときだけですか？

質問者からの補足コメント

• さすらいの桃太郎さん
  回答ありがとうございます！
  
  片方だけ成り立つまま、論を進めていっていいのですか？A^2=B^2にA=Bだけでなく、A=-Bも含まれている場合、そのまま進めていっても支障はないのでしょうか？

    補足日時：2018/01/25 20:48

• さすらいの桃太郎さん
  
  わかりにくくてすいません！
  「A=Bだけでなく、A=-Bも含まれる場合」というのは
  「A=Bでしか成り立たない(A=-Bでは成り立たない)場合」ということです！
  A=Bでしか成り立たないのに、A^2=B^2をしてもよいのでしょうか？2乗したことによってA^2=B^2にA=-Bも含まれてしまう気がするのですが、、、

    補足日時：2018/01/25 21:27

No.4 ベストアンサー 回答者： さすらいの桃太郎 回答日時： 2018/01/25 21:43

再び失礼します。

結論的には、２乗してもかまわないと思います。話を次のように整理しましょう。
・　「A=Bならばｐ」が成り立つ
・　「A=-Bならばｐ」は成り立たない
という事象ｐがあるということですね。それはそれとして、
・　「A=BならばA^2=B^2」が成り立つというのは明らかだと思います。

以上の理解がどこか違っているのでしたら、ご指摘下さい。

No.6 回答者： kairou 回答日時： 2018/01/26 11:19

Ｎｏ３ です。

補足説明を読むと、あなたと回答者との間に理解の食い違いが有る様に感じます。
最初の質問にある「数学ではよく、両辺を2乗しますが」って、具体例を示して貰えますか。

例として、「√3 と√5 の大小関係を調べる」と云う場合は、
夫々を二乗して 3<5 だから、√3<√5 であると云えますね。
この場合は、(ー√3) や(ー√5) が入り込む余地はありませんよね。

No.5 回答者： sasa-san 回答日時： 2018/01/26 04:00

A=B

両辺にAを掛ける
A×A＝A×B
A²=AB　　…(1)

A=B
両辺にBを掛ける
A×B＝B×B
AB=B²　　…(2)

(1)、(2)より
A²=AB=B²
ゆえに
A²=B²


一方で、A²=B² を満たすAは
A=±B となるので、
A=Bだけとは限らない。


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上を見てもらえばわかる通り、
両辺を２乗しても等式は成り立ったままですが、
平方根を取るときは正負があるので
同値とはなりません。

等式が成り立つときは、
両辺に同じ数値を掛けても成り立つことから
２乗しても同じと言えるだけなのです。

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2018/01/25 21:20

「A=B →　A²=B² 」でも、「A²=B² → A=B 」ではありません。

必要条件・十分条件は習いましたよね。

No.2 回答者： さすらいの桃太郎 回答日時： 2018/01/25 21:02

＃１です。

大事なことは、最初の条件が何か、それを基に言えることは何か、をしっかり押さえることです。その前提で先に進むのは問題ありません。

＞A^2=B^2にA=Bだけでなく、A=-Bも含まれている場合、そのまま進めていっても支＞障はないのでしょうか？
　ここは若干混乱があるかもしれません。「A=Bだけでなく、A=-Bも含まれている場合」というのは、最初の条件が「A=BまたはーB」ということでしょうか。これは当初の質問とは前提条件が違っていますね？それならそれで、それを基に進めればよろしいかと存じます。

No.1 回答者： さすらいの桃太郎 回答日時： 2018/01/25 20:31

2乗は常にできます。

逆が必ずしも真ではない、ということです。すなわち、
A=B ⇒ A^2=B^2
片方向だけが成り立つと思います。