数学Aの問題です。 なぜ互いに素であると書かないとだめなのでしょうか？素でなくてもできませんか？ 解

数学Aの問題です。
なぜ互いに素であると書かないとだめなのでしょうか？素でなくてもできませんか？
解答お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2017/10/11 16:32

たとえば、

4×2＝8×１　だけれども、2は8の倍数でもないし、1が４の倍数でもない。
それは4と8が互いに素でないからです。

この回答へのお礼

なるほど、スッキリしました。ありがとうございます。

お礼日時：2017/10/15 15:54

No.2 回答者： sasa-san 回答日時： 2017/10/11 20:06

互いに素でなければ、共通の因数を持つことになります。

全体を4倍した式を考えてみます。

16m+12n=240
16m=240-12n
16m=12(20-n)
16と12の共通の因数である4で両辺を割ると、
4m=3(20-n)
3と4は互いに素である（＝式変形終了）

ところで、
4m=3(20-n)　の一つの解は(m,n)=(3,16)なので
4×3=3(20-16)
4m=3(20-n) の両辺から引いて
4m-4×3=3(20-n)-3(20-16)
4(m-3)=3(20-n-20+16)
4(m-3)=3(16-n)

kを整数として、一般解は
m-3=3k　とおけば、m=3k+3
(16-n)=4(m-3)/3 =4(3k)/3=4k　より
n=16-(4k)=-4k+16
とできる。
m,nは自然数で、かつ 20-n>0 である必要があるので
nが取りうる範囲は 0<n<20
この範囲で　n=-4k+12　を満たすkは、k=0,1,2,3　の４つ。

したがって、一般解 (m,n)=(3k+3,-4k+12)　より、解答は
(m,n)=(3,16),(6,12),(9,8),(12,4)
となる。


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ディオファントス方程式を使って一般解を求めてみました。
少し難しい手法なので覚える必要はありませんが、解答は変わりません。

質問の回答ですが、
もし互いに素でなければ、互いに素になるまで計算します。
共通因数で割ることで最終的に互いに素になるわけですから
「互いに素である」と書くことは、
その時点ので式の計算終了を意味することになります。

今回用いたディオファントス方程式には、互いに素の条件は必須なのです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
ディオファントス方程式ですか…初めて聞きました。
詳しく調べてみます。

お礼日時：2017/10/15 15:56