二次関数の最大値最小値について教えてください。

二次関数の最大値最小値について教えてください。
こんにちは。
私は今高卒認定試験のために数学を独学で頑張っているのですが…

今二次関数をやっていてだんだん分からなくなってきました…

二次関数のグラフで例題がどうしてこうなるのかがさっぱりです。

例題)
y=ーx2乗+6x-13
の頂点x座標と頂点y座標の求め方がさっぱりです。
というかx座標の出し方がなぜ
x={6÷(ー1)}÷(ー2)=3
なんですか！？
yはxの答えを代入で出来るからわかるんですが;;

どなたか優しく教えてください＞＜

No.1 回答者： arasara 回答日時： 2010/09/03 16:16

たぶん、回答を書いている間に他の人がもっといい回答を書いていると思いますが。

。。
＞x座標の出し方がなぜ
＞x={6÷(ー1)}÷(ー2)=3
＞なんですか！？
これは、分かりません。何かの参考書に書いているのなら無視してもいいと思います。
私なら、
y=-x^2+6x-13
=-(x^2-6x+9)-4
=-(x-3)^2-4
と変形して、頂点(3,-4)を求めます。←これの説明をやさしく説明するのは私にはできません。
こういう解法を説明している参考書を使った方がいいように個人的には思います。

この回答へのお礼

さっそくお返事ありがとうございます！
使っているのは高卒認定ワークブックを使っています
ん～やっぱりxの出し方がさっぱりですね＞＜

お礼日時：2010/09/03 16:37

No.2 回答者： KEIS050162 回答日時： 2010/09/03 16:37

二次関数の最大（小）値は、グラフからイメージするのが一番ですが、二次関数はｘ＾２（ｘの二乗）の係数が正の時は、下向き放物線、負の時は上向放物線になり、いずれの場合も頂点は一つです。

したがって、正の時はこれが最小（極少）となり、負の時はこれが最大（極大）となります。

二つの解き方を紹介しますので、あとはがんばって解いてみてください。

１）平方完成を使う方法

ｘ＾２＋６ｘ－１３　＝　（…）＾２　＋　Ａ　の形にします。

（…）＾２　は二乗しているので常に　≧０　となります。従って、（…）が０の時最も小さい値となりますので、その時の最小値はＡとなります。（ｘ＾２の係数が負の時はこの逆ですので、最大値となります）。
即ち　（…）　＝　０　となる　ｘ　と　その時の　ｙ　の座標が頂点（極値）となります。


平方完成を作るには、ｘ＾２＋６ｘ　の部分のみに着目し、（ｘ＋３）＾２　を展開して出来る式の定数項（変数ｘを含まない部分）と、元の式の－１３の部分からＡの値を求めます。

２）微分を使う方法
極値というのは、放物線がだんだん下って来て、頂点を越えて今度はだんだん上がって来る点なので、下がる方向（変化率が負）から上がる方向（変化率が正）の中間にある平均変化率＝０の点ということになります。

従って、平均変化率が０の点、　即ち、ｙ　＝　ｘ＾２＋６ｘ－１３　の一次微分　ｙ＝２ｘ＋６　が０となる点が極値です。
ここから　ｘ　を求め、１）と同様に　ｙ　を求めれば極値の座標が分かります。

アドバイス：
二次関数でつまづきそうになった時は、一旦、一次関数に戻り、徹底的に関数とグラフの関係を理解してみてはいかがでしょうか。グラフの座標と関数の関係、変化率が正の時、負の時、を一次関数なら簡単に習得できます。
二次関数になるといきなり放物線になって難しく感じると思いますが、グラフのイメージがつかめれば、かなり理解が早くなると思います。

がんばってください。

この回答へのお礼

ありがとうございました！
頑張ってみます

お礼日時：2010/09/05 15:03

No.3 回答者： Quattro99 回答日時： 2010/09/03 17:12

ひどい説明ですね。

本当にそんな解答例になっているんですか？

二次関数y=ax^２ +bx +cは変形するとy=a(x-p)^２ +qとすることが出来ます。
この変形は二次方程式の解の公式を導くときのものと同じです。
二次関数の頂点とはグラフが下に凸なら最下点のことであり、上に凸なら最上点のことです。(x-p)^2は0または正ですから、aが正ならy=a(x-p)^２ +qはx=pのときyは最小値にqなり、aが負ならx=pのときyは最大値qになります。

話を戻しますが、y=-x^2 +6x -13について上で書いた最初の変形をしたときのpを求める計算が{6÷(ー1)}÷(ー2)=3です。
y=a(x-p)^２ +qの右辺を展開するとy=ax^2 -2apx +p^2です。元々はy=ax^２ +bx +cだったのですから、1次の項の係数に注目するとb=-2apのはずであり、これをpについて解くとp=b/(-2a)です。
この計算をy=-x^2 +6x -13に対して行ったものが{6÷(ー1)}÷(ー2)=3なのです。

二次方程式の解の公式の導き方のところを見てみてください。また、平方完成という言葉をネットで検索してみるのもいいと思います。

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2010/09/05 15:03

No.4 回答者： Quattro99 回答日時： 2010/09/03 17:26

#3です。

くどくどと説明しましたが、実際に問題を解くときにはいちいちy=a(x-p)^2 +qを展開したものと見比べることなどしません。
その問題の場合では、
y=-x^2 +6x -13
y=-(x^2 -6x)-13 【2次の項と1次の項を2次の項の係数でくくる】
y=-{(x-3)^2 -9}-13 【強引に平方完成してつじつまを合わせる】※
y=-(x-3)^2 -4 【定数項をまとめる】
というようなことを頭の中でやります。
おそらく※の変形に戸惑うのだろうと思います。先ほども書きましたが、「平方完成」で検索してみてください。

なお、お持ちの参考書の解説では、1次の項の係数を2次の項の係数で割り、さらに-2で割る計算を、頂点のx座標を求めるための公式のように書いているようですが、そのような覚え方はおすすめ出来ません。どうしてそういう計算で頂点のx座標が求まるのかを理解しないと痛い目に遭うと思います。

この回答へのお礼

平方完成ですか
初めて聞きました！
調べてみますね！
ありがとうございます！

お礼日時：2010/09/05 15:02

No.5 回答者： KEIS050162 回答日時： 2010/09/03 22:51

＃２です。

誤りがあったので訂正します（ｘ二乗の係数”－１”を見落としてました）

１）平方完成の場合
ｘ＾２＋６ｘ－１３　＝　（…）＾２　＋　Ａ　　（誤）

－ｘ＾２＋６ｘ－１３　＝　－（…）＾２　＋　Ａ　（正）

ｘ二乗の係数が負なので、（…）＝０の時、ｙの最大値がＡです。

２）微分の場合
ｙ　＝　ｘ＾２＋６ｘ－１３　の一次微分　ｙ’　＝　２ｘ＋６　（誤）

ｙ　＝　－ｘ＾２＋６ｘ－１３　の一次微分　ｙ’　＝　－２ｘ＋６　（正）


どちらの場合もｘ＝３が求めることが出来ます。

この回答へのお礼

ありがとうございます
やっぱ難しいですね＞＜

お礼日時：2010/09/05 15:01