【ZFC】置換公理の定義の統合【置換公理】

【ZFC】置換公理の定義の統合【置換公理】

ZFC公理系の置換公理に就いての質問です。
ZFCの公理を見渡すと、置換公理と、分出公理は、複数のパラメタを取る事が知られて(しかも、分出公理は置換公理に拠って導く事が出来ます)います。
しかし、ネットを見回して診ると、関係式(φ,P,F etc.)が、複数のパラメタを採る物と、採らない物が在ります。

複数のパラメタは考慮されずに記述された置換公理
ttp://okwave.jp/qa/q2959778.html
ttp://de.wikipedia.org/wiki/Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre
↑9.
ttp://ufcpp.net/study/set/axiom.html
ttp://blog.livedoor.jp/calc/archives/50760599.html#
ttp://www.geocities.co.jp/Technopolis/9587/tips/zahlen.html


複数のパラメタを考慮して記述された置換公理
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Zermelo%E2%80%93Fraenkel_set_theory
↑6.
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_schema_of_replacement
ttp://pauli.isc.chubu.ac.jp/~fuchino/tmp/kikaku03-proj.pdf
↑10頁
ttp://page.mi.fu-berlin.de/geschke/ModelleMengenlehreV2/MMskriptV2.pdf
↑1頁(7)

公理は1ヶなのに、上記のサイトを見廻して診ると、まるで2つの記述法が在る様な印象を受けます。もしも、統合可能な場合、どの様な記述に成るのでしょうか。

「複数のパラメタは考慮されずに記述された置換公理」を自分なりに記述した物
∀x ' ∀X ( x ' ∈ X ⇒ ∀Y_0 ∀Y_1 ( F( X , Y_0 ) ∧ F( X , Y_1 ) ⇒ Y_0 = Y_1 ) ⇒ ∃Y ∀y ( y ∈ Y ⇔ ∃x ( x ∈ X ∧ F( x , y ) ) )

「複数のパラメタを考慮して記述された置換公理」を自分なりに記述した物（ ∧ , ⇒ 等かなりいい加減です）
∀y_1 … ∀y_n ∀A ( ∀x ( x ∈ A ⇒ ∃1y ( f ( x , y , y_0 , … , y_n ) ) ) ) ⇒ ∃Y ∀y ( y ∈ Y ⇔ ∃x ( x ∈ A ∧ f ( x , y , y_0 , … , y_n ) ) )

No.3 ベストアンサー 回答者： rinkun 回答日時： 2010/09/15 01:33

y_1,...,y_nのようなパラメータは、たとえば定数を表現するのに使います。

実際、数学では、空集合φとか、自然数全体Nといった定数を使いますが、公理論的集合論の論理式には本来そのようなものはありません。
ですが、たとえばxが空集合であることを示す
φ(x) := ∀a(￢a∈x)
という論理式を使って
f(x,y,y_0,...) := φ(y_0)⇒P(x,y,y_0,...)
のように書けば、変数y_0が空集合だとPが意味を持つようにできるわけです。
複数のパラメータを持つ公理図式を使えば、上のようなfを使って外側で∀y_0とすることで
P(x,y,φ,...)
のように空集合を表す定数が含まれる論理式でも実質的に公理で扱えることが分かります。

具体的な論理式での定数の除去は煩雑ですので、ここではこれ以上は記載しません。
気になるようなら自分で具体的な記述を確認してみると良いでしょう。

この回答へのお礼

御解答有難う御座います。

先ず、集合が扱うデータは、(ZFC内では)空集合だけなのでしょうか。空集合自体、空集合存在公理に拠って、命題の形で表せるし、自然
数Nは、ペアノの公理なりで空集合から創り出す事が出来る様し、整数、有理数…も、順序対等を使う事に拠って、ZFCの公理(命題)の中
から築き上げられますね。集合と訊くと、「言葉」、「人の集まり」等を思い出しますが、之等は空集合で取り扱えない場合、ZFCは切り捨てるので
しょうか。

御回答の空集合の例に就いて、実際やっている事と言うのは、
ttp://kaz.cyteen.nagoya-bunri.ac.jp/knowledge/resolution.html
の、「スコーレム関数」限量子の除去について…の箇所と同じなのでしょうか。

又、くどい様ですが、量化子、合接、含意の関係に就いて。最初の記法に対し、こう言う風に展開出来ますよ、と言うのがネットで在って、
以下の通りです。
∃x∈X P ≡ ∃x(x∈X∧P)
∀x∈X P ≡ ∀x(x∈X⇒P)
どの命題も、必ず例外無く、上記の様な量化子、合接、含意の関係で展開出来るのでしょうか(∃が来たら⇒は無いとか)。

確認の為に、自由変数及び束縛変数に就いても一言。自由変数は、(命題論理では、)其の値に依って真理値が変化する変数、束縛変数
は、量化子に束縛され、其の値が変化しても真理値が変わら無い、と言う事で宜しいでしょうか。
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%94%B1%E5%A4%89%E6%95%B0%E3%81%A8%E6%9D%9F%E7%B8%9B%E5%A4%89%E6%95%B0
だとすれば、閉論理式で記述した場合、∀が自由変数なのか、束縛変数なのかをどうやって見分けるのでしょうか。上手く自由変数/束縛
変数を分けて記述するとどう言う風に成るんでしょうか。

今回の質問(?)はかなりずれている様ですが悪しからず。

お礼日時：2010/09/15 15:42

No.5 回答者： rinkun 回答日時： 2010/09/16 02:22

定数になるのは一意性がある定義ですね。

まあ定数でなくても形式的に定義できる数学的構造なら「この構造に対してはこれが言える」といった定理として扱えるわけですけど。

自然数について言えば、無限公理だけでは自然数全体の集合にはなりません。あれは、自然数全体の集合を含むような集合が存在すると言っているだけです。実際に無限順序数なら無限公理の条件式
　N(x) := ∃z(∀w(￢w∈z)∧z∈x)∧∀y(y∈x⇒y∪{y}∈x)
を満たすものは多いですし。
自然数全体の集合は、N(x)を満たすxの共通部分です。それによって条件式を満たす最小の集合になり一意になります。

この回答へのお礼

御回答有難う御座います。

自然数から0を除いた全体、N^+には、無限集合公理が適応され無さそうです(0=φが入って居ない)。素数全体や、奇数全体も、0が入って居ないので適応され無さそうです。整数全体はどうでしょうか。0は含んでいますが、y∪{y}⇔±yだったら、yを、自然数全体で扱えると言う事でしょうか。同じ様に、偶数全体だったら、y∪{y}⇔±2yと、見做すのでしょうか。奇数は、整数から偶数の差集合を採った物と考えるのでしょうか。

後、定数の除去を実際行うに当たって、有益に成る資料、及び書籍が在りましたら、教えて下さい。以下の資料は、どうでしょうか。
ttp://is-education.naist.jp/Data/Syllabus/2008/TeachingMaterial/info-0019_1208257833.pdf

之以上の問答は、急な感じがするのと、本題から反れて居る可能性が在るので、少し時間を置いて診た方が良さそうです。一度、置換公理を記述して診ます。間違いが在りましたら、時間が在る時に御報告下さい。

お礼日時：2010/09/16 19:44

No.4 回答者： rinkun 回答日時： 2010/09/15 16:56

まず空集合から構成できる以外の集合があるかないかは、形式的な立場では決定できなかったと思います。

従って、空集合から構成できる以外の集合を明示的に示すこともできません。
# 示せるなら、空集合から構成できる以外の集合が存在するといえる

スコーレムの限量子の除去はちょっと違うのではないかと思います。
ANo.3で書いたのはそうではなく、数学で定義された定数(空集合、自然数全体など)をその定数が満たす論理式と自由変数で形式的に表現するという話です。
定数記号が含まれる論理式は、簡略化した記法であって形式的には厳密なものでなく、定数が満たす論理式と自由変数で記述するのが正規のやり方と言えるでしょう。
公理のパラメータが気になるなら、厳密な形で書下してみることも必要かと思います。

> ∃x∈X P ≡ ∃x(x∈X∧P)
> ∀x∈X P ≡ ∀x(x∈X⇒P)
これらについては、右辺が左辺の定義です。本来、限量子で束縛される変数は何でも良いのであって、それがある集合に限定される記法は、実は右辺の論理式の略記法なのです。

あと閉論理式(命題)は全ての変数が束縛された論理式ですよ。自由変数を持つ論理式が恒真なら自由変数を∀で束縛して閉論理式にできるとか、そういう話でしょうか。

この回答へのお礼

御回答有難う御座います。

> 閉論理式
「命題」は、総て量化子が付いて、束縛変数のみで構成されて居る論理式と言う事ですね。
公理や定理は、トートロジー(公理の場合は、「とする」)なので、自由変数を含んだ論理式を、
閉論理式に変えられると言う事で宜しいでしょうか。

φ:=0なので、空集合は定数、{φ}:=1も、勿論定数ですね。自然数全体Nは、先の通りに作った
集合（定数）を集めた、所謂集合族（定数を集めた物）と言う訳で定数と言う訳ですね。では、
冪集合P（X）や、合併∪F（F={X_λ}_λ∈Λ）は、定数では無さそうですね。後考えられる定数
は、整数全体、有理数全体…や、円周率、自然対数の底、多元数の単位等が思い浮かびます。
後、線型空間、群等の数学的構造はどうでしょう。特殊直交群SO(n)辺りが定数の様な気がする
のですが。

なぞる様ですが、公理論的集合論の論理式では、空集合を、φと言う形では扱え無いので、
φ:=φ(ξ):=∀x￢(x∈ξ)
を、公理から持ってきて、其を論理式として扱い、
f(x,y,y_0,...) := φ(y_0)⇒P(x,y,y_0,...)
とすれば、Pの中で、y_0は空集合として扱う事が出来、更に f でひと纏りにすると。
φを其の儘扱おうとせずに、y_0に空集合の意味付けて、間接的に扱う訳ですね。
と、すれば、かなり乱暴ですが、自然数全体も同様に、
N=N(ξ):=(自然数の定義)
として、 f を作れば、代入したパラメタを自然数として扱える訳ですね。それとも、多分間違った
事を言ってると思いますが、上記の定義は、無限集合公理で事足りるのでしょうか（それとも、
無限集合公理「も」使う、でしょうか）。

お礼日時：2010/09/15 23:28

No.2 回答者： rinkun 回答日時： 2010/09/14 01:19

ANo.1へのお礼を読みましたが、むしろ引っかかっているのは∃1ですね。

∃1は∃を拡張した限量子で∃1y(P(y))と書くとP(y)を満たすyが一意に存在することを主張します。一意存在が関数の要件になることは了解できるでしょう。
# P(y)はyを自由変数に持つ論理式です

∃1は∀と∃を使った論理式で置き換えできますので置き換えて確認してみると良いでしょう。
∃1y(P(y)) ⇔ ∃y(P(y) ∧ ∀y'(P(y')⇒y=y'))

この回答へのお礼

御解答有難う御座います。

今回の御回答に拠り、2ヶの記述に関連性が見出せる様に成ったと思います。
唯一存在は、冪集合の公理で、
Y ⊆ X ⇔ ∀x ( x ∈ Y ⇒ x ∈ X )
と書ける様に、
∃1y(P(x,y,…)) ⇔ ∃y'_0∀y'_1(P(x,y'_0,…) ∧ P(x,y'_1,…)⇒y'_0=y'_1)
↑ 量化子の位置が違う所に注目！之で良いのでしょうか
と表せると言う訳ですね。

各箇所の合接/含意の記述は、複数のパラメタは考慮されずに記述された置換公理、
ttp://de.wikipedia.org/wiki/Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre
に準ずれば良いですね？

後、複数のパラメタを考慮した物の関係式が、
f ( x , y , y_1 , … , y_n , A )
↑ 質問では定義域 A が失念してしまいました
と、成っていて、 x,A に就いては、定義域が集合で在る事を考慮してのパラメタで、yは、値域
(この場合は値域が集合で在るとは言って居無いですね)を表して…後の y_1 ,…, y_n は、どう
定義されるのでしょうか。函数等の例を挙げて貰えると有難いです。

お礼日時：2010/09/14 16:40

No.1 回答者： rinkun 回答日時： 2010/09/13 10:57

単に記述の問題で、直接関係ない自由変数をそのまま自由変数にして記載を省略するか、自由変数を全て∀束縛して閉論理式で記述するかの違いでしかないのではないかと思いますけど。

この回答へのお礼

御解答有難う御座います。

ttp://okwave.jp/qa/q2959778.html
に準じますが、「複数のパラメタは考慮されずに記述された置換公理」を自分なりに記述した物
に就いて解説して診ましょう。

前半
∀x ' ∀X ( x ' ∈ X ⇒ ∀Y_0 ∀Y_1 ( F( X , Y_0 ) ∧ F( X , Y_1 ) ⇒ Y_0 = Y_1 )
と、後半
∃Y ∀y ( y ∈ Y ⇔ ∃x ( x ∈ X ∧ F( x , y ) ) )
に分けられるのですが、前半は、性質(命題) F が写像で在る事を主張して居ます。後半は、定義域
X が集合ならば、写像の値域 Y は、集合に成る事を主張しています。もし、複数のパラメタは考慮されず…と、複数のパラメタを考慮して記述…が、同じ物ならば、F( x , y )の箇所を、
F( x , y , y_1 , … , y_n )なりに訂正するだけなんでしょうが。しかし、そうすると、
∀y_1 … ∀y_n ∀A ( ∀x ( x ∈ A ⇒ ∃1y ( f ( x , y , y_0 , … , y_n ) ) ) )
の箇所の f が、上記の記述(∃1y とか)だけで f が写像で在ると言って良いんでしょうか。
まあ、前半後半で合接か含意かをこじつければ「らしく」は成るのでしょうが…
どうも確信が得られて居ないみたいです。

お礼日時：2010/09/13 13:57