ベクトル、内積、外積など

ベクトル、内積、外積など

はじめまして、私は情報系の分野を専門的に学習している学生です。
情報分野ではそれなりの知識を持っているので、あえて数学的な
質問をさせていただきます。

　　・三次元平面上に点ABCがあります。

　　・点ABCを含む平面上に点Pがあります。

三角形ABC内に点Pが存在することを確かめるには、
どのようにすればよいでしょうか？

またこれには以下のような制約があります。

　　・パソコン上で計算するので、なるべく計算回数
　　　（特に乗算、除算）を抑えたい。

　　・パソコン上では三角関数などは級数なので精度、
　　　処理速度、共に両立できない。

なので、なるべく少ない計算量で、四則演算のみを用いた
解法が必要です。

以下は私の考えた手順ですが、

　　(1)ベクトルBcとBa(もしくはBp)との外積によりベクトルNを得ます。

　　(2)ベクトルNとBcとの外積によりBcに直行するベクトルBc´を得ます。

　　(3)ベクトルBc´とBpとの内積が負ならば、点Pは線分B-Cの外に位置します。

　　これをB-C、C-A、A-Bと行うことで判定します。

これでは外積を２回、内積を１回計算する必要があり、計算量が多いので
より簡潔な手法が必要です。




（本当に数学って大切ですね、もっと勉強しておけばよかった(^^;）

No.1 ベストアンサー 回答者： nag0720 回答日時： 2010/11/02 19:56

点Pが点ABCを含む平面上にあるなら、

ベクトルAbとApとの外積、ベクトルBcとBpとの外積、ベクトルCaとCpとの外積
この３つのベクトルは平面の法線ベクトルなので、同じ方向か逆方向のベクトルになります。

３つとも同方向なら点Pは三角形ABC内です。

２つのベクトルが同方向か逆方向かは内積の正負で判断できます。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
外積で判定ができることは気づきませんでした。

お礼日時：2010/11/02 20:59

No.2 回答者： htms42 回答日時： 2010/11/02 20:26

ベクトルＰＡ，ＰＢ，ＰＣを作ります。

ＰＡ・(ＰＢ×ＰＣ)＝０
　これで「同一平面上にある」ということが出てきます。
ＰＡ・(ＰＢ＋ＰＣ)＜０
　これで「三角形の内部にある」ということが出てくると思います。
Ａ、Ｂ、Ｃを入れ替えたものでやる必要は多分ないだろうと思います。
でも確かではありません。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
参考にさせていただきます。

お礼日時：2010/11/02 21:00