一階非線型の方程式の問題の解き方を教えて下さい

以下の問題が、どうしても解けません。

dx/dt=3x-3x^3
(x=0.1のとき、t=0)

独学で学んでいるのですが、
式変形の方法など、いろいろ教えて頂ければ嬉しいです。
どうか、よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： Knotopolog 回答日時： 2011/06/03 11:51

dx/dt＝3x－3x^3

を変形すると，

dx/dt＝3x(1－x^2)
dx/(3x(1－x^2))＝dt

積分定数を c として，積分すると，

∫dx/(3x(1－x^2))＝∫dt＋c

左辺の 1/(3x(1－x^2)) は，変形すると，

[1/(3x(1－x^2))]＝ 1/(3 x)－1/(6 (x＋1))－1/(6 (x－1))

なので，積分は，
∫[1/(3 x)－1/(6 (x＋1))－1/(6 (x－1))]dx＝∫dt＋c
となります．これを計算すると

(1/3)ln(x)－(1/6)ln(x＋1)－(1/6)ln(x－1)＝t＋c

この両辺に６を乗ずると，

2ln(x)－ln(x＋1)－ln(x－1)＝6t＋6c

ln(x^2)－ln(x＋1)－ln(x－1)＝6t＋6c
ln(x^2)－[ln(x＋1)＋ln(x－1)]＝6t＋6c
ln(x^2)－ln((x＋1)(x－1))＝6t＋6c
ln(x^2)－ln(x^2－1)＝6t＋6c

ln[(x^2)/(x^2－1)]＝6t＋6c

(x^2)/(x^2－1)＝exp(6t＋6c)

となり，C＝6c と置いて変形すると，

(x^2)/(x^2－1)＝Cexp(6t)

が，一般解です．

検算：

[2x(x^2－1)－(x^2)(2x)]/(x^2－1)^2＝6Cexp(6t)・(dt/dx)
[2x^3－2x－2x^3]/(x^2－1)^2＝6Cexp(6t)・(dt/dx)
(－2x)/(x^2－1)^2＝6Cexp(6t)・(dt/dx)

Cexp(6t)＝(x^2)/(x^2－1)

であるから，

(－2x)/(x^2－1)^2＝6(x^2)/(x^2－1)・(dt/dx)

(－1)/(x^2－1)＝3x・(dt/dx)
(1/(1－x^2))＝3x・(dt/dx)
1＝3x(1－x^2)・(dt/dx)

故に，

(dx/dt)＝3x(1－x^2)

となり，元の微分方程式を得るので，一般解

(x^2)/(x^2－1)＝Cexp(6t)

は正しいです．

No.6 回答者： alice_44 回答日時： 2011/06/03 14:34

c が実数であれば、

C = ±exp(c).

No.5 回答者： Knotopolog 回答日時： 2011/06/03 12:40

＃３です．訂正です．

C＝6c　ではなく，C＝exp(6c)　です．

失礼しました．

No.4 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2011/06/03 12:03

　式変形の方法について。

　微分方程式を眺める基本は、

　　dx/dt=3x-3x^3　　(1)

のように、導関数（係数は１にするのが望ましい）＝元の関数の式　にする事です。(1)のような形にしてから、右辺に注目して、使える目録（解法手順）を探しますが、基本は合成関数の微分公式の逆（変数分離形）と、積の微分公式の逆（線形微分方程式）です。この2つは、他の皆さんもやっていますように、右辺を見た瞬間にわかります。

　多くの面倒な変数変換は、上記二つの形に帰着させるための変形と思って良いです。ここで問題は、面倒な変数変換なんかふつうは思いつけない事ですが、適切な変数変換の目録は、昔の人達が苦労していじくりまわして導いてくれたものなので、実際上はおぼえるしかありません。

　プロなどはもっとずぼらです。(1)の形に整理してから岩波公式集などをおさらいして、該当する目録があれば、そのまま引き写しで使用します。公式集に載ってなかったら諦めて、コンピュータを持ち出して、数値計算にかけます。

　残りは試験対策ですね？。まず目録は暗記してる方が望ましいですが、良心的な出題者なら、

　　(a)与式を、次の変数変換で変形せよ．
　　(b)変形結果を解け．

といった、誘導問題になるはずです。

No.2 回答者： quift 回答日時： 2011/06/03 11:09

変数分離形なので容易に解けますよ。

両辺にdt/(3x-3x^3)を掛けると
dx/(3x-3x^3)=dt
左辺はxだけ、右辺はtだけの式になりましたね。
この両辺を積分すれば解が得られます。
初期条件x(0)=0.1から積分定数も分かります。
左辺の積分はできますか？
1/(3x-3x^3)=[(2/x)-{1/(x-1)}-{1/(x+1)}]/6
と部分分数化すれば簡単ですよ

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2011/06/03 11:02

3dt=dx{1/(x-x^3)}

=(1/2)dx{2/x+1/(1-x)-1/(1+x)}

と変形できます。後は積分する。