静電ポテンシャルに関する問題

電場E(r)=K{(2xy+z^2)i+x^2j+2xzk}と与えられている時、静電ポテンシャルを求めたいのですが、どのようにして積分を計算すればよいのかがわかりません。

どのように計算すればよいのでしょうか？

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2011/06/16 16:42

静電ポテンシャルφ(x1,y1,z1)は基準点(x0,y0,z0)での値φ(x0,y0,z0)=0とすると

φ(x1,y1,z1)=-∫[C]E(r)・dr Cは(x0,y0,z0)から(x1,y1,z1)を結ぶ任意の経路
となります。
基準点は(x0,y0,z0)=(0,0,0)か無限遠点を取るのが普通ですが、今回の場合無限遠点では発散しそうなので(0,0,0)に取ることにします。

次に、積分する経路のとり方ですが、電場のx,y,z方向成分がわかっているのでx軸に平行な経路とy軸に平行な経路とz軸に平行な経路を組み合わせることとします。
その場合の順番ですが、どの順番でも結果は同じなのですが工夫をすると計算量を劇的に減らせます。今回の場合、y軸に平行な経路(C1)に沿って積分→z軸に平行な経路(C2)に沿って積分→x軸に平行な経路(C3)に沿って積分、の順番で行うと非常に楽です。(C1,C2の順番は逆でも良い)
C1においてはdr=jdy(jはy軸方向の単位ベクトル),x=0,z=0,y=0～y1
C2においてはdr=kdz(kはz軸方向の単位ベクトル),x=0,y=y1,z=0～z1
C1においてはdr=idx(iはx軸方向の単位ベクトル),x=y1,z=z1,x=0～x1
ですので
φ(x1,y1,z1)=-∫[C]Er)・dr=-{∫[0,y1]E(0,y,0)・jdy+∫[0,z1]E(0,y1,z)・kdz+∫[0,x1]E(x,y1,z1)・idx}
となります。
前の二つの積分は"0"になります(積分の経路の順番を選んだ効果、これはご自分で確認してください)。最後の積分はご自分で計算してください。

No.1 回答者： sanori 回答日時： 2011/06/16 04:43

こんにちは。

静電ポテンシャルを　Ｕ　と置いたとき、
－∂Ｕ／∂ｘ　＝　２ｘｙ＋ｚ^2
－∂Ｕ／∂ｙ　＝　ｘ^2
－∂Ｕ／∂ｚ　＝　２ｘｚ
となるように　Ｕ　を定めればよいです。

あと、初期条件として、
ｒ＝０（ｘ＝ｙ＝ｚ＝０）のときにＵ＝０とするか、
ｒ＝∞（ｘ＝ｙ＝ｚ＝∞）のときにＵ＝０とするか、
はたまた、どっか中途半端なところを基準にするか、
どれかにすることになりますから、それが　Ｕ　の式における積分定数の決定材料となります。

たぶん、このヒントだけで解けると思うのですが。