以下の計算になると思いますが、、、
∫[0,+∞] sin(kx)dx=∫[0,π/2k] sin(kx)dx+∫[π/2k,+∞] sin(kx)dx
=∫[0,π/2k] sin(kx)dx + ∫[0,+∞] cos(kx)dx
=1/k + ∫[0,+∞] cos(kx)dx
ここで、∫[0,+∞] cos(kx)dx は、
∫[0,∞] cos(kx)dx=(1/2)∫[0,∞]{exp(ikx)+exp(-ikx)}dx
=(1/2)∫[0,∞] exp(ikx)dx+∫[(0,∞] exp(-ikx)dx
=(1/2)∫[-∞.0] exp(-ikx)dx+∫[0,∞] exp(-ikx)dx
=(1/2)∫[-∞.+∞] exp(-ikx)dx
=δ(k)/2
です。
したがって、
∫[0,+∞] sin(kx)dx=1/k + δ(k)/2
と思います。
しかし、
k=0では、
∫[0,+∞] sin(kx)dx=∫[0,+∞] 0 dx=0
で、右辺は、δ(k)/2は怪しいですが、少なくとも、 1/k=∞ です。
正しい、積分方法を、お教え下さい。
No.1
- 回答日時:
単純に広義積分の定義に従って計算してはいけないのでしょうか?
∫[0,∞]sin(kx)dx = lim[X→∞]∫[0,X]sin(kx)dx.
k = 0 の場合には,被積分関数が常に 0 なので,求める値は 0.
k ≠ 0 の場合には,
∫[0,X]sin(kx)dx
= [-(1/k)cos(kx)][0,X]
= (1/k){1-cos(kX)}.
ここで X→∞ とすると値は振動して収束しません.
よって,積分は収束しません.
(勘違い回答になっていたらすみません.)
ありがとうございます。
広義積分は、僕も考えました。
しかし、
∫[0,+∞] cos(kx)dx の場合、
=lim[X→∞]∫[0,X]cos(kx)dx
X→∞ とすると値は振動して収束しません.
よって,積分は収束ないことになり、
正しい答え:
δ(k)/2 になりません。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
超関数を使えるんなら、
2i sin(kx) = exp(ikx)-exp(-ikx)
であるから
sgn(x) = (x>0 then 1 , x<0 then -1)
のフーリエ変換
∫[-∞, +∞] sgn(x)exp(-ikx) dx
を計算すれば宜しいのではないかな。
その際に、
(d/dx) sgn(x) = 2δ(x)
[ ∵任意のテスト関数F(x)について、
∫[-∞, +∞] ((d/dx) sgn(x)) F(x) dx
= -∫[-∞, +∞] sgn(x) F’(x) dx = 2F(0)
= ∫[-∞, +∞] (2δ(x)) F(x) dx ]
を使い、そして部分積分をすれば簡単。
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