第一問
(1)さいころを3回投げ、出た目の数を順にa、b、c、として、χの2次方程式abχ2乗-12χ+c=0を作るとき、この2次方程式が重解を持つ確率
(2)3個のさいころを同時に振り、出る目の最大値をM、最小値をmとするとき、M-m=1となる確率
第二問
nを3以上の整数とする。このとき、以下の確率を求めなさい。
(1)さいころをn回投げたとき、出た目の全てが1になる確率
(2)さいころをn回投げたとき、出た目の数が1か2の2種類になる確率
(3)さいころをn回投げたとき、出た目の数が3種類になる確率
第三問
(1)1個のさいころを4回投げるとき、5以上の目が3回以上出る確率
(2)1個のさいころを4回投げるとき、少なくとも1回3の倍数の目が出る確率
No.5ベストアンサー
- 回答日時:
第二問(3)を含め、改行位置と句読点等を見直して、再度回答します。
第一問(1)
abx^2-12x+c=0が重解を持つ条件は、
判別式=(-12)^2-4abc=0→abc=144/4=36。
さいころを3回投げた時の目の組合せ数は6×6×6=216通り。
3回掛け合わせて36になる目の組合せは、
1と6と6、2と3と6、3と3と4の3通り。
このうち1と6と6及び3と3と4の並べ方はそれぞれ3通りずつで、
2と3と6の並べ方は6通りあるので、
合計12通りの並べ方すなわち目の出方がある。
よって条件abc=36となる確率は12/216=1/18。
答えは1/18です。
第一問(2)
3個のさいころを同時に振った時に出る目の組合せ数は、
3個とも同じ目の組合せが6通り、
3個が別々の目の組合せが6×5×4=120通り、
2個が同じ目の組合せが6×5=30通りで
合計156通り。
M-m=1となるMとmの組合せは、
6と5、5と4、4と3、3と2、2と1。
それぞれの場合に残る1個の目はMかmの2通りあるので、
合計10通りの目の組合せでM-m=1となる。
よってその確率=10/156=5/78。
答えは5/78です。
第二問(1)
(1/6)^n
第二問(2)
(1/3)^n
第二問(3)
さいころをn回投げたときの目の出方は全部で6^n通り・・・(ア)。
3種類の目の組合せ数は6C3=20通り・・・(イ)。
例えば1、2、3の3種類の目がn回のうちに1回以上出て、かつ、
ほかの目が出ない場合の目の出方は以下の通り。
1、2、3の3種類の目の出方は全部で3^n通り・・・(ウ)
このうち、
1種類だけの目の出方は3通り・・・(エ)
1、2がそれぞれ1回以上出る1と2だけの目の出方は
(2^n-2)通り・・・(オ)
1、3がそれぞれ1回以上出る1と3だけの目の出方は
(2^n-2)通り・・・(カ)
2、3がそれぞれ1回以上出る2と3だけの目の出方は
(2^n-2)通り・・・(キ)
(ウ)-(エ)-(オ)-(カ)-(キ)=(3^n)-3-3(-2+2^n)=(3^n)-3(2^n)+3
よって(3^n)-3(2^n)+3通り・・・(ク)が1、2、3の
3種類の目がn回のうちに1回以上出て、かつ、ほかの目が出ない
場合の目の出方になります。
従って、(イ)×(ク)/(ア)=(20(3^n)-60(2^n)+60)/6^n、
答えは{20(3^n)-60(2^n)+60}/6^nです。
第三問(1)
1個のさいころを4回投げる時の目の組合せ数は、
6^4=1296通り。
5以上の目が3回以上の組合せは、5又は6が3回又は4回出る
組合せであり、
3回の組合せは、555、666、566、556の4通り、
それぞれについて4C3=4通りの出方があるので、
全部で4×4=16通りの組合せがある。
4回の組合せは、
5555、5556、5566、5666、6666、の5通り、
5555及び6666の出方はそれぞれ1通り計2通り、
5556及び5666の出方はそれぞれ4通り計8通り、
5566の出方は4C2=6通りで、全部で16通りの組合せがある。
以上から3回及び4回の組合せ数は16+16=32通りあり、
5以上の目が3回以上出る確率は32/1296=2/81、
答えは2/81です。
第三問(2)
少なくとも1回3の倍数の目が出る確率
=1-(4回とも3と6以外の目が出る確率)
=1-(2/3)^4=1-16/81=65/81、
答えは65/81です。
No.4
- 回答日時:
第二問(3)は少し複雑なので、別途回答します。
第一問(1)
abx^2-12x+c=0が重解を持つ条件は、判別式=(-12)^2-4abc=0→abc=144/4=36。
さいころを3回投げた時の目の組合せ数は6×6×6=216通り。3回掛け
合わせて36になる目の組合せは、1と6と6、2と3と6、3と3と4の3通り。
このうち1と6と6及び3と3と4の並べ方はそれぞれ3通りずつで、2と3と6
の並べ方は6通りあるので、合計12通りの並べ方すなわち目の出方がある。
よって条件abc=36となる確率は12/216=1/18、答えは1/18です。
第一問(2)
3個のさいころを同時に振った時に出る目の組合せ数は、3個とも同じ目の組合せ
が6通り、3個が別々の目の組合せが6×5×4=120通り、2個が同じ目の
組合せが6×5=30通りで合計156通り。
M-m=1となるMとmの組合せは、6と5、5と4、4と3、3と2、2と1。
それぞれの場合に残る1個の目はMかmの2通りあるので、合計10通りの目の
組合せでM-m=1となる。よってその確率=10/156=5/78、答えは5/78です。
第二問(1)
(1/6)^n
第二問(2)
(1/3)^n
第二問(3)別途回答
第三問(1)
1個のさいころを4回投げる時の目の組合せ数は、6^4=1296通り。
5以上の目が3回以上の組合せは、5又は6が3回又は4回出る組合せであり、
3回の組合せは555、666、566、556の4通り、それぞれについて
4C3=4通りの出方があるので、全部で4×4=16通りの組合せがある。
4回の組合せは5555、5556、5566、5666、6666、の5通り、
5555及び6666の出方はそれぞれ1通り計2通り、5556及び5666
の出方はそれぞれ4通り計8通り、5566の出方は4C2=6通りで、全部で
16通りの組合せがある。
以上から3回及び4回の組合せ数は16+16=32通りあり、5以上の目が
3回以上出る確率は32/1296=2/81、答えは2/81です。
第三問(2)
少なくとも1回3の倍数の目が出る確率=1-(4回とも3と6以外の目が出る
確率)=1-(2/3)^4=65/81、答えは65/81です。
No.3
- 回答日時:
第一問
(1)さいころを3回投げ、出た目の数を順にa、b、c、として、χの2次方程式abχ2乗-12χ+c=0を作るとき、
>この2次方程式が重解を持つ確率
重解をもつから判別式D=0であればよい。
D=12^2-4×ab×c=0より、abc=36になるようにa,b,cを決める。
(1,6,6)の場合3通り 3×(1/6)^3
(2,3,6)の場合6通り 6×(1/6)^3
(3,3,4)の場合3通り 3×(1/6)^3
確率は、12×(1/6)^3=1/18
>(2)3個のさいころを同時に振り、出る目の最大値をM、最小値をmとするとき、
>M-m=1となる確率
M-m=1となるのは、2と1、3と2、4と3、5と4、6と5の5通り
例えば、1と2について目の出方は、(1,1,2)3通り(1,2,2)3通りだから、
3×(1/6)^3+3×(1/6)^3=1/36
確率は、5×(1/36)=5/36
第二問
nを3以上の整数とする。このとき、以下の確率を求めなさい。
>(1)さいころをn回投げたとき、出た目の全てが1になる確率
1の目が出る確率は1/6 それがn回だから確率は(1/6)^n
>(2)さいころをn回投げたとき、出た目の数が1か2の2種類になる確率
1か2が出る確率は、2/6=1/3 それがn回だから(1/3)^n
>(3)さいころをn回投げたとき、出た目の数が3種類になる確率
出た目の数が1種類になる確率は、(1)の場合で6通りあるから
6×(1/6)^n=1/6^(n-1)
出た目の数が2種類になる確率は、(2)の場合で6C2通りあるから、
6C2×(1/3)^n=5/3^(n-1)
よって、
出た目の数が3種類になる確率
=1-(1/6^(n-1))-(5/3^(n-1))
第三問
>(1)1個のさいころを4回投げるとき、5以上の目が3回以上出る確率
5以上の目が出る確率=2/6=1/3
3回出る確率=4C3(1/3)^3(2/3)=8/3^4
4回出る確率=(1/3)^4=1/3^4
確率は、8/3^4+1/3^4=9/3^4=1/9
>(2)1個のさいころを4回投げるとき、少なくとも1回3の倍数の目が出る確率
3の倍数が出ない確率=4/6=2/3
4回とも3の倍数が出ない確率=(2/3)^4=16/3^4
少なくとも1回3の倍数の目が出る確率=1-16/3^4=65/81
でどうでしょうか?
回答ありがとうございます。
前者2名が答えてこれなかったので「どうしよう、どうしよう……!?」とメチャクチャふるえていました(笑)。
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