３点を通る平面の方程式

A(0,1,1)B(6,-1,-1)C(-3,-1,1)の３点を通る平面の方程式を求めよ。
という問題があったのですが、問題集などの解答では「ax＋by＋cz＋d=0として座標を代入する」となっていました。

このような問題は,一直線上にない三点ABCに対し、点Ｐが平面上にあるときに AP(ベクトル)=sAB＋tACとなる実数s,tがあることを利用して,求める平面上に点Ｐをとり、方程式を解いて求めてもよいのでしょうか…？

No.5 ベストアンサー 回答者： naniwacchi 回答日時： 2012/03/22 01:02

#1です。

なるほど、そういう考えだったのですね。
任意の s, tに対して成り立つ点Pの集まりとして求めていく方法ですね。


あと、平面が AB→と AC→によって作られる（張られている）ことと
平面の方向ベクトルということを思い浮かべれば、

方向ベクトルを u→＝ (a, b, c)とおいて
u→⊥ AB→ かつ u→⊥ AC→

という条件で求めてしまう（最後は通る点の条件から dの値を決定）方法もありますね。

この回答へのお礼

方向ベクトルをおくやり方もやりやすそうなのでまた解いてみます。二回も解答ありがとうございました！

お礼日時：2012/03/22 07:46

No.4 回答者： eclipse2maven 回答日時： 2012/03/22 00:54

せっかく　AB　AC　をもとめたのなら　その外積をもとめて

そのベクトル(a,b,c) とすると

このベクトルと　AP　は　直交するので　内積が０　で　求まりますよ

つまり　a(x-0)+b(y-1)+c(z-1)=0

この回答へのお礼

外積はまだ習っていないのですが、知らない解き方を教えてもらって参考になりました!ありがとうございます。

お礼日時：2012/03/22 07:42

No.3 回答者： at9_am 回答日時： 2012/03/21 22:44

> 一直線上にない三点ABCに対し、点Ｐが平面上にあるときに AP(ベクトル)=sAB＋tACとなる実数s,tがあることを利用して,求める平面上に点Ｐをとり、方程式を解いて求めてもよいのでしょうか…？

多分、Pを文字を使ってP(x,y,z)等とあらわし、sAB+tACの各成分との恒等式を3本立ててs,tを消して求めるつもりなのだと思います。

特に指定がない限りその方法でも良いですが、
「ax＋by＋cz＋d=0として座標を代入する」
方法よりも楽に解けるかね？　と思います。

この回答へのお礼

説明不足ですみません。回答ありがとうございます。参考になりました!
私はsとtを消去する方が好きなので、質問させてもらいました。

お礼日時：2012/03/21 22:55

No.2 回答者： yoshi20a 回答日時： 2012/03/21 22:22

解ければ何でも良し。

解けなければ間違い。

この回答へのお礼

では解はでたので大丈夫ですかね…。
回答ありがとうございます。

お礼日時：2012/03/21 23:04

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2012/03/21 22:20

こんばんわ。

最後の「方程式を解いて求めて」というのは、
何に対して方程式を立てて解くということでしょうか？

s, tは任意の実数になるので、方程式を立てるとしても・・・と思ったので。

この回答への補足

P(x,y,z)とあらわし、AP=sAB+tACに代入して、3つ方程式をだす、ということです。分かりにくくてすみません(>_<)

補足日時：2012/03/21 23:01