4≦a≦9、4≦b≦9を満たす整数a、b

b^3-aと3b^3+a^4-a^2-2aの最大公約数が5であるならばa＝b＝5、またはa＝？、b＝？である

という問題で全く解法が思い浮かばないのでヒントだけでも教えてください！ちなみにヒントを聞いてもつまったりしてまた補足質問するかもしれないです！

No.3 ベストアンサー 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/03/22 17:37

mとnが分からないのに5の倍数になるaが分かるんでしょうか？

>a^4-a^2+a=5(m-3n)
右辺が５の整数倍ですから
aに４、６、７、８、９を順に入れて計算して
左辺が５の整数倍になれば、それがaです。

この回答へのお礼

わかりました！回答ありがとうございました！

お礼日時：2012/03/22 17:42

No.4 回答者： nag0720 回答日時： 2012/03/22 17:40

3b^3+a^4-a^2-2a=3(b^3-a)+a^4-a^2+a

だから、
「b^3-aとa^4-a^2+aの最大公約数が5」としても同じ。

a^4-a^2+a=a{a(a+1)(a-1)+1}
とすれば計算しやすいでしょう。
これが5の倍数となるのはa=5,8のときのみ。

あとは、b^3-aが5の倍数になるbを求めて、最大公約数が5かどうか確認するだけ。

この回答へのお礼

別視点ですね！助かります！ありがとうございました！

お礼日時：2012/03/22 17:43

No.2 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/03/22 17:18

b^3-a=5n

3b^3+a^4-a^2-2a=5m
b^3同士をイコールとしてaだけの式にして
aに4～9を入れて5の倍数になるaを見つけては
どうですか？

この回答へのお礼

b^3=a＋5nとb^3＝(－a^4＋a^2＋2a＋5m)/3で
3a＋15n＝－a^4＋a^2＋2a＋5m
a^4－a^2＋a＝5m－15nになりますね！
mとnが分からないのに5の倍数になるaが分かるんでしょうか？

お礼日時：2012/03/22 17:25

No.1 回答者： f272 回答日時： 2012/03/22 15:18

最大公約数が5であるということは，b^3-aと3b^3+a^4-a^2-2aはどちらも5で割り切れるということ。

4≦a≦9、4≦b≦9を満たす整数a、bは36通りしかないから，計算してみたらどうかな。
5で割った余りだけを考えればいいから，計算はだいぶ楽になるはず。

この回答へのお礼

できれば先のことも考えて一つ一つ試せない他の似たような問題にも使えるような方法があるとよいのですが...
最終手段として検討します！回答ありがとうございました！

お礼日時：2012/03/22 15:41