重心

△ABCの内部に点Dがある
△DAB,△DBC,△DCAの重心をそれぞれP,Q,Rとする
△ABCの面積が18のとき△PQRの面積を求めよ


△DABの重心=(AB+AD+DB)/3
△DBCの重心=(DB+DC+BC)/3
△DCAの重心=(AD+DC+AC)/3
ぐらいしか分からないので出来れば解き方を教えてください 答えは△PQRの面積=2です

No.1 ベストアンサー 回答者： Quarks 回答日時： 2012/05/13 12:04

辺ＡＢ，ＢＣ，ＣＡの各中点をＳ，Ｔ，Ｕとします。

ＳＵ//ＢＣ　
かつ
ＡＳ：ＡＢ＝１：２
ですから
△ＡＳＵの面積：△ＡＢＣの面積＝１：２^2
∴　△ＡＳＵの面積=18・(1/4)=9/2
同様に
△ＢＳＴの面積＝△ＣＵＴの面積＝9/2
つまり、△ＳＴＵの面積＝18-3(9/2)＝9/2

△ＤＰＲと、△ＤＳＵとを比較すると
Ｐ，Ｑ，Ｒがそれぞれ△ＤＡＢ，△ＤＢＣ，△ＤＣＡの重心なので
ＤＰ：ＤＳ＝２：３
ＤＲ：ＤＵ＝２：３
ですから
ＰＲ//ＳＵ
であることがわかります。
つまり、△ＤＰＲ∽△ＤＳＵ
であることがわかります。
このことから
△ＤＰＲの面積：△ＤＳＵの面積＝２^2：３^2＝４：９
∴△ＤＰＲの面積=(4/9)・△ＤＳＵの面積
同様に
△ＤＰＱの面積=(4/9)・△ＤＳＴの面積
△ＤＱＲの面積=(4/9)・△ＤＴＵの面積

△ＤＳＵの面積＋△ＤＳＴの面積＋△ＤＴＵの面積
は、△ＳＴＵの面積です。

総合すると、
求める面積
＝△ＤＰＲの面積＋△ＤＰＱの面積＋△ＤＱＲの面積
＝(4/9)・△ＳＴＵの面積
＝(4/9)・(9/2)=２

この回答への補足

ＳＵ//ＢＣ　
かつ
ＡＳ：ＡＢ＝１：２
ですから
△ＡＳＵの面積：△ＡＢＣの面積＝１：２^2
と
△ＤＰＲ∽△ＤＳＵ
であることがわかります。
このことから
△ＤＰＲの面積：△ＤＳＵの面積＝２^2：３^2＝４：９

は上が相似比1:2、下がＤＲ：ＤＵ＝２：３より相似比2:3だから二乗したんですよね？

△ＡＳＵの面積=18・(1/4)=9/2
同様に
△ＢＳＴの面積＝△ＣＵＴの面積＝9/2
と
△ＤＰＲの面積=(4/9)・△ＤＳＵの面積
同様に
△ＤＰＱの面積=(4/9)・△ＤＳＴの面積
△ＤＱＲの面積=(4/9)・△ＤＴＵの面積
は、△ASU=△BST=△DPRと△DPR=△DPQ=△DQRが成り立たないと成り立たないと思うのですがなぜ同じと分かるのでしょうか？

補足日時：2012/05/13 12:43

No.7 回答者： ferien 回答日時： 2012/05/14 09:33

ANo.6です。

少し訂正します。ベクトルの始点のことを考えると、

＞△ＰＱＲで、その面積をＳ1とする。（２）を使うと、
＞Ｓ1＝(1/2)√｛｜ＱＲ｜^2｜ＱＰ｜^2－（ＱＲ，ＱＰ）^2｝
＞上のベクトルを代入して、
＞Ｓ1＝(1/2)√｛｜(－1/3)（ｂ－ａ）｜^2｜(－1/3)（ｃ－ａ）｜^2
＞　　　　　　　－（(－1/3)（ｂ－ａ），(－1/3)（ｃ－ａ））^2｝

の方がいいと思いました。以下は同じです。

この回答へのお礼

分かりました ありがとうございました

お礼日時：2012/05/14 10:03

No.6 回答者： ferien 回答日時： 2012/05/14 02:51

＞△ABCの内部に点Dがある

＞△DAB,△DBC,△DCAの重心をそれぞれP,Q,Rとする
＞△ABCの面積が18のとき△PQRの面積を求めよ

ＡＢ，ＢＣ，ＣＡの中点をＳ，Ｔ，Ｕとする。
ベクトルＤＡ＝ａ，ベクトルＤＢ＝ｂ，ベクトルＤＣ＝ｃとします。
ベクトルＤＳ＝(1/2)（ＤＡ＋ＤＢ）＝(1/2)（ａ＋ｂ）
ベクトルＤＴ＝(1/2)（ＤＢ＋ＤＣ）＝(1/2)（ｂ＋ｃ）
ベクトルＤＵ＝(1/2)（ＤＣ＋ＤＡ）＝(1/2)（ｃ＋ａ）
Ｐ，Ｑ，Ｒは重心だから、
ＤＰ：ＰＳ＝ＤＱ：ＱＴ＝ＤＲ：ＲＵ＝２：１より、
ベクトルＤＰ＝(2/3)ＤＳ＝(2/3)(1/2)（ａ＋ｂ）＝(1/3)（ａ＋ｂ）
ベクトルＤＱ＝(2/3)ＤＴ＝(2/3)(1/2)（ｂ＋ｃ）＝(1/3)（ｂ＋ｃ）
ベクトルＤＲ＝(2/3)ＤＵ＝(2/3)(1/2)（ｃ＋ａ）＝(1/3)（ｃ＋ａ）
ベクトルＰＱ＝ＤＱ－ＤＰ＝(1/3)（ｃ－ａ）
ベクトルＲＱ＝ＤＱ－ＤＲ＝(1/3)（ｂ－ａ）
ベクトルＡＢ＝ＤＢ－ＤＡ＝ｂ－ａ
ベクトルＡＣ＝ＤＣ－ＤＡ＝ｃ－ａ
△ＡＢＣで、ＡＢとＡＣのなす角をＸとすると、三角形の面積の公式より、
Ｓ＝(1/2)｜ＡＢ｜｜ＡＣ｜sinＸ　……（１）
cosＸ＝（ＡＢ，ＡＣ）／｜ＡＢ｜｜ＡＣ｜より、
sin^2Ｘ＝１－cos^2Ｘ
＝１－｛（ＡＢ，ＡＣ）／｜ＡＢ｜ＡＣ｜｝^2
＝｛｜ＡＢ｜^2｜ＡＣ｜^2－（ＡＢ，ＡＣ）^2｝／｜ＡＢ｜^2｜ＡＣ｜^2より
sinＸ＝√｛｜ＡＢ｜^2｜ＡＣ｜^2－（ＡＢ，ＡＣ）^2｝／｜ＡＢ｜｜ＡＣ｜
これを（１）へ代入して、分母が約分できるから、
Ｓ＝(1/2)√｛｜ＡＢ｜^2｜ＡＣ｜^2－（ＡＢ，ＡＣ）^2｝……（２）
これに、上のベクトルを代入して、
Ｓ＝(1/2)√｛｜ｂ－ａ｜^2｜ｃ－ａ｜^2－（ｂ－ａ，ｃ－ａ）^2｝＝１８　……（３）
△ＰＱＲで、その面積をＳ1とする。（２）を使うと、
Ｓ1＝(1/2)√｛｜ＲＱ｜^2｜ＰＱ｜^2－（ＲＱ，ＰＱ）^2｝
上のベクトルを代入して、
Ｓ1＝(1/2)√｛｜(1/3)（ｂ－ａ）｜^2｜(1/3)（ｃ－ａ）｜^2
　　　　　　　－（(1/3)（ｂ－ａ），(1/3)（ｃ－ａ））^2｝
＝(1/2))√［(1/9)^2｜ｂ－ａ｜^2・(1/9)^2｜ｃ－ａ｜^2－｛(1/9)（ｂ－ａ，ｃ－ａ）｝^2］
＝(1/9)(1/2)√｛｜ｂ－ａ｜^2｜ｃ－ａ｜^2－（ｂ－ａ，ｃ－ａ）^2｝　（３）より、
＝(１／９）×１８
＝２

になりました。△ＡＢＣと点Ｄ，重心Ｐ，Ｑ，Ｒを描いて確認してみて下さい。
（（２）は、ベクトルを使った三角形の面積の公式です。）

この回答へのお礼

ベクトルのやり方ですね
ありがとうございます

お礼日時：2012/05/14 08:56

No.5 回答者： Quarks 回答日時： 2012/05/14 01:05

＞ＤＰ：ＤＳ＝２：３

＞ＤＲ：ＤＵ＝２：３
＞ですから
＞ＰＲ//ＳＵ
＞であることがわかります。

２つの三角形△ＤＰＲ，△ＤＳＵで
◎　頂角∠Ｄ（∠ＰＤＲと∠ＳＤＵです）が共通
◎　２組の辺の比が等しい
これより、２つの三角形は相似であることがわかります。
∴　∠ＤＰＲ＝∠ＤＳＵ
２つの線分　ＳＵとＰＲが、線分ＤＰＳとなす角は
同位角に当たるので、それが等しいということは
ＰＲ//ＳＵ
ということです。

図を描いて、それを見て確認して下さい。

この回答へのお礼

なるほど
分かりました ありがとうございました

お礼日時：2012/05/14 08:56

No.4 回答者： Quarks 回答日時： 2012/05/13 17:38

ANo.1です。

>△ＡＳＵの面積：△ＡＢＣの面積＝１：２^2
>△ＤＰＲ∽△ＤＳＵ
>△ＤＰＲの面積：△ＤＳＵの面積＝２^2：３^2＝４：９
>は上が相似比1:2、下がＤＲ：ＤＵ＝２：３より相似比2:3だから二乗したんですよね？

はい、そのとおりです。


>△ＤＰＱの面積=(4/9)・△ＤＳＴの面積
>△ＤＱＲの面積=(4/9)・△ＤＴＵの面積
>は、△ASU=△BST=△DPRと△DPR=△DPQ=△DQRが成り立たないと成り立たないと思うのですがなぜ
>同じと分かるのでしょうか？
　
>△ASU=△BST=△DPR　　（△DPRではなく、△CUTですね）

等号は、面積が等しいという意味でしょうか？
そうなら、この等式は成立します。
相似形の面積比から、
△ASU,△BST，△CUTは、どれも、△ABCの面積の1/4の面積を持ちますから、同じ面積です。
（なお、面積が同じでも、それぞれの三角形が合同だということを意味しませんから、念のため申し添えます。）
そして、残りの△ＳＴＵもまた、18－(9/2)・3＝9/2
ということがわかります。


>△DPR=△DPQ=△DQR

こちらは、一般的には成り立ちません。成り立ちませんが、証明の障害にはならないのです。
　
△DPQの面積：△DSTの面積＝2^2：3^2＝４：９
∴△DPQの面積＝(4/9)・△DSTの面積

同様に、△DQRと△DTU　も相似ですから
△DQRの面積＝(4/9)・△DTUの面積

更に同様に
△DPRの面積＝(4/9)・△DSUの面積

辺々を加えてみると
△DPQの面積＋△DQRの面積＋△DPRの面積
＝(4/9)・{△DSTの面積＋△DTUの面積＋△DSUの面積}
が成り立つことがわかります。
ところで、
△DPQの面積＋△DQRの面積＋△DPRの面積＝△PQRの面積
△DSTの面積＋△DTUの面積＋△DSUの面積＝△STUの面積
ですから
　
△PQRの面積＝(4/9)・△STUの面積＝(4/9)・(9/2)=２
　
このように、３つの三角形の個々の面積が一致している必要はありません。

この回答への補足

＞ＤＰ：ＤＳ＝２：３
＞ＤＲ：ＤＵ＝２：３
＞ですから
＞ＰＲ//ＳＵ
＞であることがわかります。

申し訳ないのですが基本が抜けていて、この部分が分かりません 教えてください

補足日時：2012/05/13 19:22

この回答へのお礼

＞はい、そのとおりです。

分かりました

＞等号は、面積が等しいという意味でしょうか？

その通りです

＞△DPQの面積：△DSTの面積＝2^2：3^2＝４：９
∴△DPQの面積＝(4/9)・△DSTの面積
同様に、△DQRと△DTU　も相似ですから
△DQRの面積＝(4/9)・△DTUの面積
更に同様に
△DPRの面積＝(4/9)・△DSUの面積

これらは拡大版の△DST,△DTU,△DSUと△DPQ,△DQR,△DPRの比が同じなだけで面積が等しいかは分からないが△PQRの面積は出せるということですね
よく分かりました ありがとうございました

お礼日時：2012/05/13 17:57

No.3 回答者： kacchann 回答日時： 2012/05/13 15:06

ベクトルを使って

ふつうに、
それぞれの三角形(PQRとABC)の面積の値を求める方法なら
発想力いらないので
その方法もマスターすべし。

次の公式のやつね。
S=(1/2)×|a||b|sinθ
---

ちなみに角A＝角Qかな。
これはベクトル図書いてみて
よく考えてみて。

この回答への補足

三角形の角が何度か一つも分からないからsinθは使えないのではないですか？
また、角A＝角Qの角Qとはどこの角Qでしょうか？∠BQCや∠AQCや∠DQRなどがあって分からないのです

補足日時：2012/05/13 15:40

No.2 回答者： LHS07 回答日時： 2012/05/13 12:04

定規で三角形を正確に描いていって、補助線を書き入れることです。

この回答への補足

どこにでしょうか？

補足日時：2012/05/13 12:45