数学の面白い問題

数学で面白い問題があったのですが解の導き方がわかりません。


問題は

3本の平行な線の上に正三角形を作りなさい。

という問題です。

コンパスなどは使えず、あくまで数式で解くものです。

解を出せる方よろしくお願いします。

No.11 回答者： staratras 回答日時： 2012/06/21 05:54

No.7&9です。

No.9の折り紙による解法で確かに正三角形ができることを三平方の定理だけを使用して確認してみました。添付した図は折り紙を開いたところと同じ形で、三角形OAB、三角形CAPはいずれも正三角形。（0<q<p）

O"A^2+p^2=(2O"A)^2 よりO"A=p/√3、(p-q)^2+(AP/2)^2=AP^2 より　AP=2(p-q)/√3
したがって　O"P=AP-O"A=(p-2q)/√3　（Ｐの座標を考えるため符号付きにする）

OP^2=O"P^2+O"O^2=(1/3)(p-2q)^2+p^2=(4/3)(p^2-pq+q^2）…(1)

ここでOP=OQとなるように直線y=q上に点Qをとると、…(2)
OQ^2=O'Q^2+OO'^2=O'Q^2+q^2=(4/3)(p^2-pq+q^2） だから　O'Q^2=(1/3)(4p^2-4pq+q^2)=(1/3)(2p-q)^2
0<q<p より　O'Q=(2p-q)/√3

このとき
PQ^2=(PO"+O'Q)^2+O'O"^2 だから
PQ^2=〔((2q-p)/√3)+((2p-q)/√3)〕^2+(p-q)^2=((p+q)/√3)^2+(p-q)^2=(4/3)(p^2-pq+q^2）…(3)

(1)(2)より、OP=OQ=PQなので　三角形OABは正三角形となる。

折り紙解をひとまず置いて、
3本の平行線y=0.y=q,y=p (0<q<p)上にそれぞれ点O、点Q、点Pをとり(ただし点Oは原点(0,0））
三角形OPQが正三角形になるようにする、と考えれば点Q((2p-q)/√3,q)、点P((p-2q)/√3,p)です。

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ところでNo.7の解で、m=(√3)q(q+2p)/(4p^2-q^2) ∴q/m=√3(4p^2-q^2)/3(q+2p)　…(3)

m'=√3p(2p+q)/(2p^2-2q^2-3pq) 　∴p/m'=√3(2p^2-2q^2-3pq)/3(2p+q)　…(4)
　と書きましたが、

点Qのx座標である(3)を約分すると、q/m=√3(4p^2-q^2)/3(q+2p)=√3(2p-q)/3=(2p-q)/√3 となり、
点Pのx座標である(4)も約分できて、p/m'=√3(2p^2-2q^2-3pq)/3(2p+q)=√3(p-2q)/3=(p-2q)/√3となりますので
当然のことながら一致します。（No.7では約分せず煩雑な式になっていました。失礼しました)
　　

No.10 回答者： B-juggler 回答日時： 2012/06/15 21:24

Ｎｏ．３　代数学屋です。

いやだから、数式を使って解くんでしょう？

図を使っちゃダメだよ？　いいのこれ？

だったらただの幾何だよ。


だったら皆さん正解だよ～～＞＜

数式だけで解くんでしょう？

１：２：√（３）　使うとかしかないんじゃないの？

　＃あるいは回転ね。これ前書いてる。


図を使っていいのなら、幾何学で解けるのは分かっているのだから、

数式である必要はないし、

数式だけで解けるんなら、図は必要ない。


これをはっきりさせないと、この問題は何にも得られないよ？

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

No.9 回答者： staratras 回答日時： 2012/06/15 13:08

No.7です。

確かに計算が煩雑なので、発想をまったく変えて、定木もコンパスも数式も一切使わない簡単なやり方を考えました。使うのは折り紙の手法です。

まず、準備として、与えられた3本の平行線のうち外側の2本の間隔と同じ幅の適当な長さ(以下の折り紙ができる程度の）長方形の紙を用意し、中の平行線を与えられた間隔で書き込んでおきます。長方形の紙の上の辺、書き込んだ直線、下の辺がそれぞれ与えられた3本の平行線です。

(1)長方形の紙の下の辺に正三角形の頂点となるOの印を付けておきます。

(2)紙がぴったり重なるように、0を頂点とするV字に折ります。紙の下の辺にあるOを頂点として60度ずつ3等分され、長方形の紙の上の辺との2つの交点をA、Bとする正三角形OABができますが、OAと書き込んだ平行線の交点をCとし、印をつけます。

(3)紙をいったん広げたあと、書き込んだ平行線で紙を折ってさらに細長い長方形になるようにします。

(4)紙がぴったり重なるように、(2)で付けたCの印を頂点とするV字の形に折ります。ACを1辺とする、小さな正三角形ができますが、紙の上の辺にあるもうひとつの頂点をPとします。

(5)OPが求める正三角形の1辺になるので、まずOPで折ります。次に、書き込んだ平行線の上にPがくるように、Oを頂点として折り、Pが平行線と重なった点をQとします。

(6)三角形OPQが求める正三角形です。

(この理由は、まず折り方から三角形OPQはOP=OQの2等辺三角形であり、また三角形OAPと三角形OBQが合同となることから∠POQ=60度です）

実際に折った紙を開いた写真を添付します。折った線に書き込んだ数字は上記の手順の(）の数字です。

No.8 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2012/06/15 01:53

No.4です。

No.7さんの回答の途中よくわからなかったのですが、煩雑すぎる気がします。
そして、任意の３本の平行線が与えられても作図可能です。

>問題は
>
>3本の平行な線の上に正三角形を作りなさい。
>
>という問題です。

問題は、平行な線の上に三角形を作るのですから、先に平行線が与えられるべきです。
No.4のような解答であれば、正三角形の１辺の長さも座標も簡単に導けます。
定規さえあれば作図も一発です。

No.7 回答者： staratras 回答日時： 2012/06/15 00:42

数式(グラフ)で考えてみました。

3本の平行線を、y=p,y=q,y=0(x軸)とする。(0<q<p)
y=p上に点P、 y=q上に点Qをとり、原点０と結んで正三角形OPQを作る。
直線OPの式をy=m'x、直線OQの式をy=mx　とすると
m'x=p より　P(p/m',p) mx=q より　Q(q/m,q)
OP^2=OQ^2 より
p^2(1+1/m'^2)-q^2(1+1/m^2)=0 …(1)

∠POQ=60度だから加法定理により
(m'-m)/(1+m^2)=tan60度=√3　
　　∴m'=(√3+m)/(1-√3m) (ただしm≠√3/3）…(2)

0<q<p　に注意して(2）を(1)に代入して解くと　
m=(√3)q(q+2p)/(4p^2-q^2) ∴q/m=√3(4p^2-q^2)/3(q+2P)　…(3)

m'=√3p(2p+q)/(2p^2-2q^2-3pq) 　∴p/m'=√3(2p^2-2q^2-3pq)/3(2P+q)　…(4)

したがって、3本の平行線が与えられた場合、最も下の平行線上の点Oを通り、3本の平行線に直交する直線を考えて、上の2本の平行線との交点を基点とし、その基点からの距離が(3)(4)を満たすように平行線上にそれぞれ点P、点Qをとれば、正三角形OPQを描くことができる。

なお正三角形の１辺となるOPがy=m'xで表せる直線上にないのは、OPがx軸と垂直になる(y軸と一致する)ときである。
このときm=√3/3であり、正三角形が描けるのは、p=2q の場合(等間隔の場合)に限られる。

No.6 回答者： momordica 回答日時： 2012/06/15 00:39

「コンパスなどを使わず数式で解く」というのがどういうことをしたいということなのか

いまひとつよくわかりません。
三角関数などを使って点の位置や辺の長さを求めるだけなら、#2さんのおっしゃる通り
単なる計算問題といってよく、さして面白いこともありそうには思えません。
コンパスと定規を使ういわゆる「作図問題」としての答なら、こんなのはどうでしょう。
#1さんと#5さんの参照URLにある方法よりだいぶ早いし楽だと思いますが。

平行な3直線L, M, Nが与えられている時、これら3直線と60°の角をなす直線を引き、
L, M, Nとの交点をそれぞれA, B, Cとします。
図のように、直線L, N上にそれぞれ、AD=CBとなる点Dと、CE=CAとなる点Eをとります。
このとき、△BEDは正三角形になります。

証明は容易（中2レベル）なので省きます。

No.5 回答者： naniwacchi 回答日時： 2012/06/14 20:23

こんばんわ。

過去に↓のような質問がありましたが...
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6025756.html

参考URL：http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6025756.html

No.4 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2012/06/14 20:22

添付の画像より、

d=√(x1^2+y1^2)=√(x2^2+y2^2)
y1=dcosθ　　y2=dcos(60°-θ)
x1=dsinθ　　x2=dsin(60°-θ)

となる。加法定理を用いて、
cosθ=(2x2+x1)/(√(3)*d)
元の式に代入すると
d=4/3*(x1^2+x1x2+x2^2)
となり、平行線の線感覚から正三角形の1辺の長さが導ける。

No.3 回答者： B-juggler 回答日時： 2012/06/14 17:17

幾何学じゃない？

だったら、数式だけでは無理よ。

そこには必ず、ベクトルもあるし、三角関数も出るし、

解析学だけでは解けないから幾何学なんだから。


解析の専門さん、これはどうなの？解析？

σ(・・*)は代数だけど、これは代数でも、ベクトル行かないと解けないから、

式だけでは解けないと思うけど。


一応考えられるのは、一番下が楽かな？　その直線状に

Ａベクトル（以下、ベクトルは略　アルファベット大文字をベクトルとします）を取り、

Ａを６０°回転させる二次行列を使って、一番目の平行線上に取れるように、

Ａを決定しなおす。　（で、二番目の平行線上交点がｂ　Ｂ）

Ｂについても同様。　（ｃ、Ｃ）　後は　｜Ｃ｜＝｜Ａ｜　と定めるのかな。


これだと、平行線は二本でいいんだけど。

長さの決定は、解析だけでできるだろうか？

誰かフォロー頼みます。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

No.2 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2012/06/14 14:55

この問題の　どこが面白いの？

単なる、三角関数の問題じゃないの。

この回答への補足

簡単そうに見えて解けないとこが面白いんですよ！ｗ

補足日時：2012/06/14 15:50