水面の降下量と水面降下速度の関係

次の問題の水面の（降下量と水面降下速度の関係の）解き方が教えて！gooの解答者によって二通りの方法があり、どちらが正しいのか？またはどちらも正しいのかわからなくて混乱しています。わかる方、教えてください。

問題
　　
　円柱型（断面積A)のタンクの底に、断面積aの小さな孔が開けてある。最初、高さがHまで水が入っていたとすると、この水が全部流出するのにどのくらいの時間がかかる？

（Aさんの解答）
　初期の水面の位置（高さH)からt秒後の水面の位置までの距離をｘとすると


　水面の降下速度と水面の降下量には次の関係がある

　　　　　dx/dt=v
...................としています。ｖは連続の式とベルヌーイの定理から
　　　　　v=√{(2g(H-x)/(A/a)^2-1}
と求めています。

（Bさんの解答）
　　高さHの位置と孔の位置でベルヌーイの定理を適用して
　　　　ｖ＝√（2gh)

そして、タンクの液面がｄｈだけ降下するのに要した時間をdtとすれば

　　　　　A(-dh/ｄｔ）＝aｖ=a√（2gh)
として求めています。

それぞれのやり方で求めた答えは一致しません。

No.2 ベストアンサー 回答者： masa2211 回答日時： 2012/06/24 09:19

相違点はここ。

Bさん回答では、孔から流出する流速を、ｖ＝√（2gh)として計算していますが、これは、孔がタンク断面積に比べ
充分に小さい、としたときの近似解を使っています。
（つまり、タンクの水面降下速度をゼロとしたきの孔から流出する流速を求めている。）

一方、Aさん回答は、タンクの水面降下速度をきっちり考慮しています。
ゆえに、計算式は一致しません。
計算結果（式に数値を入れて解いた場合）は、実質変わらないはず。この意味で、A,Bどちらでも可。

で、千葉工大の回答ですが、無視して良いのは粘性。縮流まで無視して良いとは書いていません。
そうすると、孔から出る水量は、
ｑ＝Ca√（2gh)　　であり、　C（流量係数）は約0.65。（流体が水の場合。）
このCは、事実上、面積が減り流速には効いていない定数です。（孔部の形状に丸みがあるかどうかでCは変わる。）

つまり、A(-dh/ｄｔ）＝0.65a√（2gh)
として解かないと理論と実測が一致しません。（1.5倍の時間がかかる。）これからみれば、タンクの水面降下速度考慮の有無は、どうでもいい差です。ゆえに、タンクの水面降下速度をゼロとするのが普通です。

※千葉工大の回答が数式上の厳密解ですが、あくまで演習なのでこれもアリで、実務では式が複雑なるだけでこう計算をする意味が無い、というのが現実です。しかも、A>>aと条件を明示しているのに、この条件使わず孔が大きいときの式を解とうるのは如何なものかと。

この回答へのお礼

納得しました。どうもありがとうございます。

お礼日時：2012/06/24 16:08

No.1 回答者： Quarks 回答日時： 2012/06/23 19:57

関係式（この問題では、微分方程式）の導出過程で、どのような推論がなされたのかをチェックするのが筋ですね。

残念ながら、その肝心の所が抜けています。
仕方がないので、お二人の回答者さんの回答と重複しているだろうとは思いますが、考え方の筋道を示しながら解いてみます。


水面の高さがｈになったとき、微小時間Δｔに水面がΔｈ下降したとします。
これは、水が容器から出ていったために生じたのです。その流出量ΔＶは
　ΔＶ＝Δｈ・Ａ
と評価されます。
一方これは、底の小孔から出ていった水の量でもありますから、小孔での流速をｖとすると
　ａ・(ｖ・Δｔ）
に等しいはずです。
　ｖ＝√(2ｇｈ)
であることはわかっていますから、結局
　Δｈ・Ａ＝ａ・(ｖ・Δｔ）＝ａ・Δｔ・√(2ｇｈ)
変形すると
　Ａ・(Δｈ/Δｔ)＝ａ・√(2ｇｈ)
ですね。ここで
　Δｈ/Δｔ　は、　導関数　dｈ/dｔ　に置き換えることができますから

　-Ａ・(dｈ/dｔ)＝ａ・√(2ｇｈ)

が正しい関係式（微分方程式）となります。これは、"Ｂさん"　が示したのと全く同じ式です。
ｈは小さくなっていく量なので、dｈ/dｔ　は負の数です。左右辺の符号を一致させるためには、負号が必要でした。もう少し整理して

　-(dｈ/√ｈ)＝(ａ/Ａ)・(√(2g))・dｔ

となります。
辺々積分して、積分定数をＣとすると
　Ｃ－２√ｈ＝(ａ/Ａ)・(√(2g))・ｔ
時刻ｔ＝０で、ｈ＝Ｈ　でしたから
　Ｃ＝２√Ｈ
なので、ｈとｔとの関係式は
　２((√Ｈ)－√ｈ)＝(ａ/Ａ)・√(2g)・ｔ
となります。求めたい時間　ｔ　は
　ｈ＝０　となるときの　ｔ　ですから
　ｔ＝(Ａ/ａ)・√(2Ｈ/ｇ)

この回答への補足

Bさんの解法ありがとうございます。

一方下のサイトの問題３のようにAさんの解き方で解くと
http://www.em.eng.chiba-u.jp/~lab8/PDF/Exercises …

　ｔ＝√｛H/[g/2((A/a)^2-1)]}

となって　ｔ＝(Ａ/ａ)・√(2Ｈ/ｇ)と一致しません。
これはなぜなのでしょうか？

補足日時：2012/06/24 04:23