平行四辺形の対角線の交点

点A,Bは放物線ｙ＝1/2x^2上にあり、点Cはx軸上にある。点Aのｘ座標は２で、四角形OABCにある。
このとき、次の問いに答えなさい。

問い
y軸上に点D（0,3）をとる。点Dを通り平行四辺形OABCの面積を２等分する直線の式を求めなさい。

図は添付させていただきました。
自分の考えでは平行四辺形の対角線の交点を通る直線が答えかと思っているのですが、これは違いますか？
また、平行四辺形の対角線の交点を求めたいのですが、求め方がわからなくて困っています。

それと、もうひとつ△OABの面積を２等分する直線の式を求めなさい。
という問題があったのですが、これは三角形の中心を通る線を求めれば求まりますか？

また、三角形の中心はA(2,2) B(-2,2) D(0,0)
三点を足して３で割るという考えでいいですか？

疑問に思っています。教えてください。

No.3 ベストアンサー 回答者： suko22 回答日時： 2012/08/23 02:21

＃1です。

＞最後の問題は点Aを通り△OABの面接をま2等分する直接の式を求めなさいでした。
＞この場合△の重心を求めて、点Aと重心を結ぶ直接は2等分する直接なのでしょうか？

もちろんその考え方でもいいですが、このような三角形の面積の2等分の問題では、私は線分OBの中点と点Aを結ぶ直線と考えます。もちろん結果は同じなのでどっちでもいいといえばとちらでもいいですが。

補足1：
平行四辺形の対角線の交点の求め方は＃２の回答者さんのほうが簡単でいいですね。
私うっかりしてました。

補足2：
三角形の面積の二等分について
添付図を見てください。
△OABの面積の2等分線は点Aと線分OBの中点を結んだ線になります。
簡単に証明しておきます。
図のように点M、点Hをとります。
△AOM＝(1/2)*OM*AH
△ABM＝(1/2)*BM*AH
今OM＝BMなので△AOM＝△ABM
要は、高さが共通で、底辺の比で三角形の面積の比が決まるというものです。
この考え方はいろいろ応用が利きます。
例えばOM:MB=1：2のとき△AOMと△ABMの面積比を求めよ。
両方の三角形の高さはAHで共通で、底辺が1：2なので面積比も1：2になります。
こんな感じで使えます。
ご参考までに。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
丁寧な図をつけていただいてわかりやすかったです。
証明までしていただいて本当にありがとうございます。

お礼日時：2012/08/23 16:38

No.4 回答者： ferien 回答日時： 2012/08/23 03:39

ANo.2です。

＞問題は点Aを通り△OABの面積を2等分する直線の式を求めなさい。でした。
＞そして、僕が知りたかったのは、△の重心と点Aを通る直線を求めれば2等分する直線になるのか
＞ということでした。
三角形の重心は考えなくてもいいです。Ａを頂点と見ると、底辺がＯＢになるから、
底辺ＯＢを二等分すれば、面積も二等分になります。
（二等分した三角形について、Ａからおろした垂線（高さ）は共通だから、底辺が等しければ、面積も等しくなります。）
だから、ＯＢの中点（－１，１）とＡ（２，２）を通る直線が、求める直線になります。
傾き＝（２－１）／｛２－（－１）｝＝１／３
ｙ－１＝(1/3)（ｘ＋１）より、よって、ｙ＝(1/3)ｘ＋4/3

この回答へのお礼

再び回答していただきありがとうございます。
おかげで理解ができました。
たしかにOBを二等分したほうがよさそうです。
ありがとうざいました。

お礼日時：2012/08/23 16:40

No.2 回答者： ferien 回答日時： 2012/08/22 12:58

＞点A,Bは放物線ｙ＝1/2x^2上にあり、点Cはx軸上にある。

点Aのｘ座標は２で、
＞四角形OABCにある。このとき、次の問いに答えなさい。
＞問い
＞y軸上に点D（0,3）をとる。点Dを通り平行四辺形OABCの面積を２等分する直線の式を求めなさい。
＞自分の考えでは平行四辺形の対角線の交点を通る直線が答えかと思っているのですが、
＞これは違いますか？
＞また、平行四辺形の対角線の交点を求めたいのですが、求め方がわからなくて困っています。
平行四辺形の対角線の交点は、それぞれの対角線の中点だから、
ＡＣ又はＯＢの中点の座標を求め、それとＤ（０，３）を通る直線の式を
求めればいいです。
Ａ（２，２）だから、平行四辺形ＯＡＢＣになるには、Ｂ（－２，２）Ｃ（－４，０）
ＯＢの中点は、（｛０＋（－２）｝／２，（０＋２）／２＝（－１，１）　これとＤ（０，３）を通るから、
求める直線の式は、傾き＝（３－１）／｛０－（－１）｝＝２より、
ｙ－３＝２（ｘ－０）より、よって、ｙ＝２ｘ＋３

＞それと、もうひとつ△OABの面積を２等分する直線の式を求めなさい。
他に条件がなければ、何通りか考えられると思いますが、
これもＤ（０，３）を通るのであれば、ＡＢの中点を通れば二等分になります。
ＡＢの中点（０，２）だから、求める直線の式は、ｘ＝０

でどうでしょうか？

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
対角線の中心を求めて、Dと結ぶ直接を求めればいいのですね。
勉強になりました。
最後の問題は問題が不十分でした。
問題は点Aを通り△OABの面積を2等分する直線の式を求めなさい。でした。
そして、僕が知りたかったのは、△の重心と点Aを通る直線を求めれば2等分する直線になるのか
ということでした。
よければ教えてください。

お礼日時：2012/08/23 01:21

No.1 回答者： suko22 回答日時： 2012/08/21 19:49

＞自分の考えでは平行四辺形の対角線の交点を通る直線が答えかと思っているのですが、

＞これは違いますか？
合っています。自信がないのですか？
対角線を２本引いて点Dと対角線の交点を通る直線を引いてください。
図がきれいにかけていれば、なんとなく２等分しているようにみえます。
証明はいろんな方法があるでしょうが、三角形の合同条件（一辺とその両端）を
三組の三角形に適用することにより簡単に面積が２等分されることがわかります。
自分で考えてみてください。

＞また、平行四辺形の対角線の交点を求めたいのですが、求め方がわからなくて困っています。
O(0,0)
点Aのx座標が2よりy=(1/2)x^2=(1/2)*2^2=2 ∴A(2,2)
点Bのy座標は点Aと同じだからy=2 y=(1/2)x^2に代入して2=(1/2)x^2 x=±2　∴点B(-2,2)
点Cは線分ABの長さが2-(-2)=4であることより、点C(-4,0)

直線OB　
y=axとおき、点B（-2,2）を通るからy=-x

直線AC
y=ax+bとおき点A(2,2),点C(-4,0)を通るから、連立方程式を使ってy=(1/3)x+4/3

この２直線の連立方程式の解が交点になります。

そしてその交点を点D(0,3)を通る直線の式を出せばOKです。

＞それと、もうひとつ△OABの面積を２等分する直線の式を求めなさい。
＞という問題があったのですが、これは三角形の中心を通る線を求めれば求まりますか？
どこの点を通って２等分するのかがこの記述だけではわかりません。

一応点Dを通ると仮定したときの話をします。
線分ABの中点(0,2)と点O(0,0)を結んだ直線が△OABを２等分します。
すなわちx=0　これは点Dも通っています。∴x=0

＞また、三角形の中心はA(2,2) B(-2,2) D(0,0)
＞三点を足して３で割るという考えでいいですか？
三角形の中心はありません。重心のことでしょうか？
重心の座標なら足して３で割るで求まります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
最後の問題は点Aを通り△OABの面接をま2等分する直接の式を求めなさいでした。
説明が不十分で申し訳ありませんでした。
この場合△の重心を求めて、点Aと重心を結ぶ直接は2等分する直接なのでしょうか？

お礼日時：2012/08/23 01:14