指数法則(x^p)^q=x^(p*q)について

乗算が可能な数 x で、次の式により関数を定義します。p と q は有理数です。
f(x,1)=x , f(x,p+q)=f(x,p) * f(x,q)
累乗根がただ一つ存在し
f(x,2)=x^2 , f(x,1/2)=x^(1/2)
などによって正の有理数 p に対し f(x,p) が定まる。（ケース１）
f(x,p)=f(x,p) * f(x,0) , f(x,0)=f(x,0) * f(x,0)
を満たす f(x,0) が存在する。（ケース２）
f(x,1)=f(x,2) * f(x,-1)
を満たす値がただ一つ存在し、すべての有理数で f(x,p) が定まる。（ケース３）
つまり、定義域の違いで３つに分けます。

さて、ここからが本題です。
ケース１では正の有理数 p と q に対し次の式が成り立ちます。
f(f(x,p),q)=f(x,p*q)
ケース３でもすべての有理数で同じ式が成り立ちます。
ケース２では、以下のどれが成り立つでしょうか？ （p>0）
A. f(f(x,p),0)=f(x,0)
B. f(f(x,0),p)=f(x,0)
C. f(f(x,0),0)=f(x,0)
D. f(f(x,0),-1)=f(x,0)

Bは、p=m/nと考え、(f(x,0)^m)^(1/n)=f(x,0) なので成り立つと思います。
よって、不明なのはA,C,Dの場合です。成り立つかどうか教えてください。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/12/09 02:35

いろいろと意味のわからないところがあるんだが....

・「乗算が可能な数 x で」の「乗算が可能」ってどういうこと?
・ケース1～3 に包含関係はありますか? つまり, 「ケース2 はケース1 を含む」とか「ケース3 はケース2 を含む」とかは前提となるのですか?
・ケース1 に「累乗根がただ一つ存在し」って条件があるけど,
・ケース2 で「f(x,p)=f(x,p) * f(x,0) , f(x,0)=f(x,0) * f(x,0) を満たす f(x,0) が存在する」とあるんだけど, x や p の条件は?
・ケース3 の「f(x,1)=f(x,2) * f(x,-1) を満たす値がただ一つ存在し」は「この式を満たす x が唯一」としか解釈できないんだけど, そういうこと? あと, 「すべての有理数で」というときの「すべて」とはどの変数に対する条件?

ちなみに D は無意味な式だ.

この回答へのお礼

「乗算が可能」とは、任意の数 x, y に対応する z=x*y が考えてる数の集合に必ず存在するということです。
ケース１～３は包含関係にあります。ただし、ケース２の条件がなくても、ケース１からケース３を組み立てることはできます。
「累乗根がただ一つ存在」とは、任意の数 x と自然数 n に対し x=y^n という条件を満たす y がただ一つ存在することが保証されてるということです。
ケース２での x の条件は「乗算が可能」と「累乗根がただ一つ存在」の２つです。p は正の有理数として書いてますが、関数f(x,p) の定義域は有理数 p>=0 です。
ケース３の意味は、ケース１の条件を満たす数 x に対し f(x,-1) がただ一つ存在するということです。「すべての有理数」は変数 p に対してです。

D は、f(x,-1) という値は扱いません。x についてはケース２の条件が成立し、f(x,0) はケース３の条件まで満たすということがありえます。もちろん無条件にではなく、ケース３の条件が証明されれば、ですけど。
たとえば、１以上の実数の集合を考えるならば、x=2 に f(x,-1) は存在しませんが、f(x,0)=1 であれば、f(1,-1) は存在します。

色々と不十分な説明があったようですが、回答をよろしくお願いします。

お礼日時：2012/12/09 09:17

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2012/12/09 00:26

単なる指数の法則を難しそうにしているだけです。

簡単な指数のルールに戻って考えてください。

この回答へのお礼

証明をお願いしています。
意外と難しいんですよ、これ。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2012/12/09 02:42