【数学B】数学的帰納法について

n=1の時に自然数nを含む等式(A)が成り立ち（…(1)）、
n=kの時に(A)が成り立つと仮定するとn=k+1の時も(A)が成り立つ（…(2)）。

ということを示すのが数学的帰納法なんですよね。

ここで質問があります。

なぜ(2)を示すだけでは(A)が成り立つと結論できないのですか？
kが任意の自然数ならわざわざ(1)を示す必要は無いと思うのですが…。
念のためってことでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2013/01/29 20:05

風が吹けば桶屋が儲かるけれど、今風が吹いてないから桶屋は今儲かってない

…という話です。
例えば、(A) 任意の自然数 n について、n!=0 を示してみましょう。(n! は n の階乗)
n=k のときに (A) が成り立つとすると、k!=0 だから (k+1)!=(k+1)(k!)=0 です。
めでたく、n=k+1 のときも (A) が成り立つことが示せました。
…あれ？変ですね。何で、こんなことが起こったのでしょう？
1!=1 ですから、n=1 のとき n!=0 は成り立たないのでした。
最初の一枚を倒さないと、ドミノは倒れないんですよ。
だから、n=1 の場合は必要なんです。

この回答へのお礼

(1)が成り立たないことってあるのかなーという疑惑が私の疑問に繋がったのだと思います。
具体的な例ですね、合点がいきました。
ありがとうございました。

お礼日時：2013/01/30 03:38

No.1 回答者： graycat000 回答日時： 2013/01/29 18:30

3段論法にならないからです。

ドラゴンボールの悟空がスーパーサイヤ人３になれることを証明するちょっと乱暴な例を考えます。

（２）が示しているのは帰納段階と呼ばれるもので、自然数nに関して相対的な関係を示しています。
したがって、（２）だけ示しても、「スーパーサイヤ人n はスーパーサイヤ人n+1になれるよ」って言っているだけです。
悟空がそもそも普通の地球人だとスーパーサイヤ人３にはなれません。

悟空がスーパーサイヤ人３になれることを言うには、そもそも「悟空がスーパーサイヤ人（１）である」ことも言わないといけないからです。

「悟空はスーパーサイヤ人（１）である」
「スーパーサイヤ人nはスーパーサイヤ人n+1になれる」
ゆえに
「悟空はスーパーサイヤ人３になれる」
のです。

かなり乱暴な説明ですが、直感的にはそんな感じです。

この回答へのお礼

つまり(2)は仕組みを証明しただけで、それが実際に機能するかは(1)によるということですね。
身近でわかりやすいです、ありがとうございました。

お礼日時：2013/01/30 03:33