上面が一辺3cmの正方形、深さが4cmの

　　上面が一辺3cmの正方形、深さが4cmの正四角錐の容器の中に、毎秒9cm^3の割合で水を注ぐ。水の深さが２ｃｍになる瞬間の水面の速さを求めよ。　の問題を教えてください。

No.6 ベストアンサー 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2013/05/29 09:46

No.5です。

>>しかもその台形が逆さかもしれないです。
と書いて気が付いた。ひょっとしてこういうこと？

「上面が一辺3cmの正方形、深さが4cmの正四角錐を逆さにした容器に、毎秒9cm^3の割合で水を注ぐ。水の深さが２ｃｍになった時の水面の上昇速度を求めよ。」

　水面の広さは、時間の二乗に比例して大きくなります。水面の上昇速度はその逆数になります。

No.8 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2013/05/29 10:32

もしそうだとしたら、四角錘をスライスして考えます。

高さが4cmのときの底面積が9cm²--一辺は3cmですから、高さが2cmのときの一辺は(3)/2cmで面積は、9/4cm²ですね。
　スライスの高さをどんどん小さくしていくと・・・

　よって、毎秒9cm³/(9/4)cm² = 4 cm/t

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/05/29 10:28

上面が真上を向いているとし、

上面に属さない頂点が上面の下にあって、
水の深さとは上面に属さない頂点から水面におろした
垂線の長さとすると
＃まあこの程度の仮定はかかなくてもよいかもしれないけど

水面の面積は 3 cm x 3 cm x (2/4)^2 = 2.25 cm^2
なので水面の速さは 9 cm^3/s / 2.25 cm^2 = 4 cm/s

No.5 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2013/05/29 09:05

条件不足で解けるとはすばらしい!!

　正四角錘とは、底面が正方形で、頂点の垂線が底面の中心にある四角錐ですから、それだけの条件では体積が求められませんから計算できません。

　しかもその台形が逆さかもしれないです。

No.4 回答者： nag0720 回答日時： 2013/05/29 02:20

深さが２ｃｍのときの水面の面積は、１辺1.5cmの正方形だから2.25cm^2

その瞬間の水面の速さは、底面積が2.25cm^2の四角柱の場合と同じだから、
9/2.25=4 (cm/s)

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2013/05/28 23:48

t=0から水を注ぎはじめるとする。

時刻tにおける水の容積をVcm3とし、その時の水の深さをhcmとすると
dV/dt=9 [cm^3/s] ...(1)
V=9t ...(2)
深さhの時の水の上面の正方形の一辺の長さをxcmとすると
　h/x=4/3 ...(3)
なる相似立体の比例関係より
　x=3h/4 ...(4)
時刻tにおける水の容積Vは
　V=(1/3)hx^2=(1/3)h(3h/4)^2=(3/16)h^3 ...(5)
(5)と(2)より
　(3/16)h^3=9t　...(6)
　∴h=(48t)^(1/3) ...(7)
(6)より h=2 cm のとき 3/2=9t ∴t=1/6 s ...(8)
(7)をtで微分して
　dh/dt=(1/3)48(48t)^(-2/3)=16*(48t)^(-2/3) ...(7)
h=2cmの時の時刻は(6)よりt=1/5 s これを(7)に代入して
　dh/ht=16*(48/6)^(-2/3)=16*8^(-2/3)=16/4=4 cm/s
よってこの時の水面の上昇の速さは「4 cm/s」と求まる。

No.2 回答者： angkor_h 回答日時： 2013/05/28 23:31

先ず、垂体の体積は、SH/3でよいですか?　S=底面積、H=高さ

なので、任意の高さhまでの体積Vh1は、
　Vh1=　SH/3-　(　Sx(H-h)/H　x(H-h)　）/3　…式1
一方、注がれる水の量は、9t(t=秒)になり、これをVh2とします。つまり、
　Vh2=9t　…式2

式1に於いて、h=「水の深さが２ｃｍ」を代入すれば、Vh1(水の量)が求まる。
Vh1=Vh2とすれば、式2でtが求まる。
つまり、式2に式1を使って、h=f(t)として、tで微分すれば、Vh1におけるhの変化傾斜(速度)が求まるはずです。

私には計算する気力がありません。ご確認ください。

No.1 回答者： asuncion 回答日時： 2013/05/28 22:40

正四角錐の底面に関する情報が必要であるような気がします。