A 回答 (6件)
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No.6
- 回答日時:
> #1~4の答えは間違いではないけれど
> 整理されていない。受験では点を減らします。
> なお、#1~4が言っている特性方程式を使う方法は
> 3項以上の漸化式(a(n),a(n+1),a(n+2)....)の場合には
> 必要ですが、2項間の漸化式では全く不要です。
コメント、ありがとうございます
no. 5 さんの解答、僕にはスッキリしてます
僕も最初、そう解いたのですが、
受験の月
漸化式について
http://examoonist.web.fc2.com/recurrence-formula …
がわかりやすかったので、その「別解」 をそのまま、
数値を今回の問題に置き換えて、書いてました
僕には間違えに思えませんけど、
あまり深く考えてないので、
どうなんでしょうね
No.5
- 回答日時:
このような漸化式は詰まることろ遊びです。
楽しんで策略をめぐらしてやればよろしい。そのうちゲームより楽しくなること請け合いです。a(n+1)=-2(an)+3
等比級数にするには3が邪魔だなという感覚が湧けば勝てます。
つまり
a(n+1)-p=-2(an-p) (1)
という形になればbn=an-pとおいて
b(n+1)=-2bn=(-2)^nb1
よって
an=bn+p=(-2)^(n-1)b1+p (2)
で解けた!ということになるわけです。
pは?
これが気にならなければ数学はやってられません。
(1)より
a(n+1)=-2an+3p
元の式と比べてp=1
この後は後始末です。
b1=a1-p=7-1=6
(2)に代入
an=bn+p=(-2)^(n-1)b1+p=6*(-2)^(n-1)+1
=1-3*(-2)^n
#1~4の答えは間違いではないけれど整理されていない。受験では点を減らします。
なお、#1~4が言っている特性方程式を使う方法は3項以上の漸化式(a(n),a(n+1),a(n+2)....)の場合には必要ですが、2項間の漸化式では全く不要です。
No.4
- 回答日時:
受験の月
漸化式について
http://examoonist.web.fc2.com/recurrence-formula …
を見ても、正解は No.1 さんの特殊方程式を使った、スッキリ
した解答ですが、
「段差をとるという考え方」 を理解するため、
【別解】 も書かれてます
a(n+1) = -2 a(n) + 3 … (1)
a(n+2) = -2 a(n+1) + 3 … (2)
(2) - (1) より、a(n+1) - a(n+1) = -2{ a(n+1) - a(n) }
{ a(n;1) - a(n)} は 初項 a2 - a1 = -11 - 7 = -11
公比 -2 の等比数列である
よって、a(n+1) - a(n) = -18 (-2)^(n-1)
n ≧ 2 の時
n-1
a(n) = 7 + 1 Σ (-18) (-2)^(k-1)
k=1
= 7 + (-18) 1・{ (-2)^(n-1) - 1} / ( -2-1)
= 7 + 6 { (-2)^(n-1) -1 }
= 6 (-2)^(n-1) + 1
n = 1 の時
a(1) = 6 (-2)^0 +1 = 6 + 1 = 7 より n = 1 の時も成り立つ
∴ a(n) = 6 (-2)^(n-1) + 1
やった! No. 1 さんと同じ正解に辿り着けた (^_^)v
No.3
- 回答日時:
受験の月
漸化式について
http://examoonist.web.fc2.com/recurrence-formula …
を読むと、No.1 さんの「特殊方程式」での解答と
もう1つ 段差 a(n+2) - a(n) を考えると、等比数列型となる
解き方も説明されています
No.2
- 回答日時:
No.1 さんが正解を書いてくださっていますが、
受験の月
漸化式について
http://examoonist.web.fc2.com/recurrence-formula …
の特殊解型の漸化式 a (n+1) = p a(n) + q
と今回の問題にそっくり、そのまま適応できる解説が
書いてます
まず、これをしっかり身につけましょう
No.1
- 回答日時:
特性方程式 t = -2t + 3 を立てる。
3t = 3, t = 1より、漸化式
a(n+1) = -2a(n) + 3
は、
a(n+1) - 1 = -2(a(n) - 1)
と変形できる。
数列 {a(n) - 1} は、初項 7 - 1 = 6, 公比 -2 の等比数列。
一般項は
a(n) - 1 = 6・(-2)^(n-1)
∴a(n) = 6・(-2)^(n-1) + 1
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