数学のベクトルの存在範囲の問題です、

ベクトルOP,OA,OBを三角形OABに対して考える。
OP＝xOA＋yOBを満たし
係数x,yは連立不等式
2x＋y≧1
x＋y≦1
y≧0
を満たす。

OA,OB,の長さを5,2としベクトルOAとOBの内積を6としたとき点Pの存在する範囲の面積Sを求めよ。


斜交座標は用いないで欲しいです。



よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： kup3kup3 回答日時： 2013/12/21 17:20

こんにちは。

質問者は高校2年生ですか？「数学C」をもし習っていて、「行列」「一次変換」などの
知識を使えばできます。ただ最近「指導要領」が変わって「一次変換」などが無くなっていたらお許しを。
さて、ベクトルOAを(→OA)などで表し、その大きさを|(→OA)|で表すことにします。今ベクトルOPは
(→OP)＝x(→OA)＋y(→OB)・・・(*)という式で決まっている。
2x+y≧1，x+y≦1，y≧0　・・・(1)を満たす図形をDとし、その面積をSとすれば、こういう問題は、
次の式で一発で答えがでます。最初に答えを書きます。つまり、
「事実1」
点Pの表す図形をD’，その面積をS'とし、(→OA)と(→OB)のなす角をθ(0゜≦θ≦180゜)とすると、
S'＝{|(→OA)|×|(→OB)|×sinθ}×S　・・・(#)　で与えられる。

図形Dについては、S＝(1/2)×(1/2)×1＝1/4　なので（図参照）|(→OA)|＝5，|(→OB)|＝2　
及びcosθ＝3/5・・・(2)からのsinθ＝4/5を代入して、
S'＝{5×2×sinθ}×(1/4）＝{10×(4/5)}×(1/4)＝2．よって　　　(答え)　2.
では何故(#)の式が出てくるか説明します。

◎まず、座標平面を2つ用意する。一つ目の座標平面を単に「平面1」、2つ目の座標平面を単に
「平面2」と呼ぶことにする。「平面1」「平面2」での原点をOとする。「基本ベクトル」
　(→e_1)＝(1，0)，(→e_2)＝(0，1)（ベクトルの成分表示）を考え「平面1」上での動点Q　を
(→OQ)＝x(→e_1)＋y(→e_2)　・・・(2)　で決める。成分表示で(→OQ)＝(x，y)なので動点Qの
座標も(x，y)となる。この場合上の条件(1)を満たす図形Dは、「数II」の範囲で分かるように
「平面1」上の3点E(1/2，0)，F(1，0)，G(0，1)からできる△EFG（図参照)である。
その底辺＝EF＝1/2，高さ＝OG＝1なのでS＝1/4　
さて、「平面2」上で動点Pを質問のように、(→OP)＝x(→OA)＋y(→OB)・・・(*)とするとき、
(→OA)と(→OB)のなす角θ(0゜≦θ≦180゜)を求める。(→OA)と(→OB)の内積を
(→OA)・(→OB)で表すと、(→OA)・(→OB)＝|(→OA)||(→OB)|cosθ　から6＝5×2cosθ
よってcosθ＝3/5　ゆえにθは鋭角で、sinθ＝4/5。次に(*)を満たす「平面2」上の点O，A，Bは、
質問者の条件を満たす限りどこにとっても良いから、Oを原点にとり、x軸上に点Aを(5，0)ととり、
点Bはx軸の正の向きに鋭角θだけ回転してOB＝2となるようにとる。
Bの座標は(2cosθ，2sinθ)。
これより(→OA)＝5(→e_1)，(→OB)＝2cosθ(→e_1)＋2sinθ(→e_2)　・・・(3)　となる。これを
(*)に代入して、(→OP)＝(5x＋2cosθy)(→e_1)＋(2sinθy)(→e_2)　・・・(4)　となる。
Oは原点にとったから、「平面2」上の動点Pの座標は(5x＋2cosθy，2sinθy)

☆
これで「平面1」上の点Q(x，y)が上で述べた△EFGを動き回るとき、「平面2」上の動点
P(5x＋2cosθy，2sinθy)はどんな図形D'を動き回るか、そしてその面積S'はいくつになるかと
いう問題になった。ここで点Pの座標にはx,yが含まれているので
5x＋2cosθy,2sinθyはx,yの関数である。つまり「対応Q　⇒P」が考えられ関数の一般化で
難しい言葉で
『「平面1」から「平面2]への「写像」(x，y)　⇒(5x＋2cosθy，2sinθy)　・・・(5)』　が
定義されたときの面積の変化を調べる問題になった。
この写像をHとすると、5x＋2cosθy，2sinθyはx,yの定数項のない一次式なので「一次変換H」という。
「一次変換」は普通縦に書いて表す。

ここで一般論の説明をする。

★
「定理2」

一般に定数a,b,c,d：が与えられているとする。
『「平面1」から「平面2]への「一次変換」(x，y)　⇒(ax＋by，cx＋dy)　・・・(6)』　
に対し、次の性質がある。
(ア)「平面1」の直線は「平面2]の直線に移り、「平面1」の線分は「平面2]の線分に移る。
　　よって「平面1」の三角形は、一般には「平面2]の三角形に移る。（潰れるときもある）
(イ)「平面1」の領域Dが「平面2」の図形D'に移るとき、その面積は|ad－bc|倍になる。ここに
　　｜・｜は絶対値記号である。
◎
この
「定理2」を仮定して質問の問題に戻ると
　(x，y)　⇒(5x＋2cosθy，2sinθy)　・・・(5)は「定理2」において
a＝5，b＝2cosθ，c＝0，d＝2sinθである。(ア)より、図形D＝△EFG　なので図形D'も一般に三角形D'となる。
（イ)より、その面積S'はSの｜ad－bc｜＝|5×2sinθ－2cosθ×0|＝|5×2sinθ|＝5×2sinθ倍になる。
よって「事実1」が成り立つ。（説明終わり）
◎或いは次のようにしても良い。
実際に一次変換で点E(1/2，0),F(1,0),G(0，1)に対応する点をE',F',G'とすると、(5x＋2cosθy，2sinθy)
のx,yに点E,F,Gのx座標、y座標を代入してE'(5/2,0),F'(5,0)＝A,G'(2cosθ,2sinθ)＝Bとなる。（図参照）
ゆえに△EFGは△E'F'G'＝△E'ABに移り、その底辺＝E'F'＝5-5/2＝5/2，高さ＝2sinθ　よって
S'＝1/2×5/2×2sinθ＝5/2×4/5＝2　と求まる。

【補足】「定理2」の証明には次のことを使う。
「事実2」
座標平面でI(p，q），J(r，s）としたとき、原点をOとすれば、△OIJの面積＝1/2|ps－qr|と求まる。　　　

この回答へのお礼

行列を履修していたので大変わかりやすかったです。

お礼日時：2013/12/26 00:08

No.2 回答者： htms42 回答日時： 2013/12/21 16:38

＃１です。

少し補足します。

最初のところ
ｘ≧０
を出すだけであれば図を描かなくてもわかります。
１≦２ｘ＋ｙ＝ｘ＋ｘ＋ｙ≦ｘ＋１
∴ｘ≧０

でも図を描くとｘ、ｙが限られた領域内の値しか取れないことがわかりますので点Ｐも限られた領域にしか存在できないだろうということが予想されます。

ｘ≧０、ｙ≧０　は内分点であるというところに使います。

点ＰがＡＢに平行な線分Ａ’Ｂ’の上にあるというのは割合とすぐに出てくると思いますが、ＭＢに平行な線分Ａ”Ｂ”の上にあるというのがちょっと見つけにくいかもしれません。

No.1 回答者： htms42 回答日時： 2013/12/21 11:19

ｘ＋ｙ≦１

２ｘ＋ｙ≧１
ｙ≧０
ｘ、ｙ平面で図を描くとｘ≧０であることがわかります。

ＯＰ＝ｘＯＡ＋ｙＯＢ　　　（式１）

ｑ、ｒを次のように定義します。
ｑ＝ｘ＋ｙ　　（ｑ≦１）
ｒ＝２ｘ＋ｙ　（ｒ≧１）

（１）（式１）をｑを使って変形します。
三角形ＯＡＢのＯＡ上に点Ａ’を、ＯＢ上に点Ｂ’を
　ＯＡ’＝ｑＯＡ、ＯＢ’＝ｑＯＢ　
となるようにとります。
Ａ’Ｂ’//ＡＢ　です。
また、ｘ’＝ｘ／ｑ、ｙ’＝ｙ／ｑとします。

このような変形で　（式１）　は次のように変わります。
ＯＰ＝ｘ’ＯＡ’＋ｙ’ＯＢ’
ｘ’＋ｙ’＝１

点Ｐは三角形ＯＡ’Ｂ’の辺Ａ’Ｂ’上にあります（ｙ’：ｘ’に内分する点）。
ｑ≦１ですから点Ｐは三角形ＯＡＢの内部にあります。

（２）（式２）をｒを使って変形します。
ＯＡの中点をＭとします。ＯＭ＝ＯＡ／２です。
三角形ＯＡＢのＯＡ上に点Ａ”を、ＯＢ上に点Ｂ”を
　ＯＡ”＝ｒＯＭ、ＯＢ”＝ｒＯＢ　
となるようにとります。Ａ”Ｂ”//ＭＢ　です。
また、ｘ”＝２ｘ／ｒ、ｙ”＝ｙ／ｒとします。

このような変形で　（式１）　は次のように変わります。
ＯＰ＝ｘ”ＯＡ”＋ｙ”ＯＢ”
ｘ”＋ｙ”＝１

点Ｐは三角形ＯＡ”Ｂ”の辺Ａ”Ｂ”上にあります（ｙ”：ｘ”に内分する点）。
ｒ≧１ですから点Ｐは線分三角形ＯＭＢの外部（線分ＯＡ，ＯＢに挟まれていてＯから遠い方）にあります。

（１）（２）を合わせると点Ｐは三角形ＭＡＢの内部にあることがわかります。

面積はＢからＯＡに下した垂線の長さがわかればわかります。
これはＯＡ，ＯＢの内積がわかっているので出てきます。

ちょっとごてごてした書きかたをしています。

この回答へのお礼

x≧0をつくれば典型問題に帰着？できるのですね！

大変わかりやすいです
ありがとうございました

お礼日時：2013/12/21 11:37