No.3ベストアンサー
- 回答日時:
答は前の解答者さんのとおりですが、質問者さんはどこまでわかっていて、どこがわからなかったのでしょうか? きちんと「わからないこと」を書いて質問しましょう。
問題は、3つに分かれますね。
(1)このばねの特性は? (具体的には「ばね定数」がどうなっているか)
(2)そのばね特性で、引っ張って離したときの自由振動の特性を導き出す。(周期or振動数)
(3)その自由振動の特性(周期or振動数)から「角周波数」を求める。
この3つのステップで解く、という「解決プロセス」が分からないということですか? それとも「角周波数」の意味が分からない?
少し長くなりますが、順番にやってみましょう。ご自分で紙に書いてトレースしてみてください。
(1)は、「2Nの力で引っ張ると50cm伸びるバネ」から簡単に求まります。(引っ張った力)=-(復元力)です。
(ばねの復元力)=-(ばね定数)×(伸びた長さ)
F = -kx
です。ばね定数をk、単位をMKSで統一するため、伸びた長さ x はm(メートル)で表記しましょう。
2(N) = k × 0.5(m)
∴ k = 4 (N/m)
従って、このばねの運動方程式は、
F = -4 x (A)
(2)では、このばねを使った運動の様子を調べます。
ばねに付けたおもりの質量をm(kg)とすると(単位をMKSで統一)、加速度をaと書くと、おもりの運動方程式は
F = ma = m・(dv/dt) = m・(d^2x/dt^2) (B)
ばねでは、この力 F が(A)なので、
m・(d^2x/dt^2) = -4 x
ということになります。m=0.5kgなので
d^2x/dt^2 = -8 x
これを解けば、C、φを定数として、
x = C・sin(√8・t + φ) (C)
となります。(ここは積分を使いましたが、よろしいですね?)
(3)これから、この振動の「角周波数」を求めます。
サイン波は、0~2π(ラジアン)で1周期(振動1つ分)ですから、この振動の振動数をfとすると、「√8・t 」の項は1秒間に0→2πf(ラジアン)ずつ進むことになります(2πをf回通過する)。
t=1(秒)のときに2πfですから、
2πf=√8
f=√8/2π (D)
ということになります。
振動数を「角度」で表したものが「角振動数(角周波数)」です。話の順番が逆になりますが、ばねがf回振動する間に、(C)式の角度は2πf(ラジアン)進んでいましたね。この「2πf(ラジアン)」が角周波数です。
ということで、(D)より
角周波数 = √8 = 2√2 (ラジアン)
となります。
No.2
- 回答日時:
運動方程式は
m・d^2x/dx^2 = -kx
天下りですが、解をサイン波とするとうまくゆくことが
わかっているので、
x = a・sinωt として、(x = a・sinωt + b・cosωt などとしても同じこと)
-maω^2・sinωt = -k・a・sinωt → mω^2=k
→ω=√(k/m)
k = 2 N / 0.5 m = 4 N/m
m = 0.5 m
従って
ω=√(4 / 0.5)=√(8) = 2√(2) rad/s
No.1
- 回答日時:
F=kx
→k=F/x=2/0.5=4
この時のエネルギーは
E=(1/2)kx^2=0.5
また、振動子のエネルギーは
E=(1/2)m(ωx)^2=0.5
∴ω=1/x√m
m=0.5[kg]、x=0.5[m]を代入すると
ω=1/0.5√0.5=2√(1/0.5)=2√2
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