高校物理の単振り子です。

「ばね定数Kのばねに質量Mの物体をつけ、水平とθの角度をなす摩擦のない斜面にとりつけてLだけのばし手を離すと単振動をした。周期・振幅・物体の速さの最大値を求めよ」という問題で、この単振り子の教科書や問題集の例題にはあまりない感じの問題なので、どこから解いていけばいいのかわからず、もしよければ解法のアドバイスをください！

No.11 ベストアンサー 回答者： ency 回答日時： 2006/02/25 23:37

No3、No8、No10 encyです。

これまでの私の回答に、正確さに欠けるために誤解を招く表現が多かったように思いますので、まとめて補足いたします。

私の言いたかったのは、次の2点に尽きます。

1. バネの復元力と重力の合力 = -Kx
　　x: つりあいの位置 (振動の中心) からの変位
# より正確には「合力の振動方向成分」です。

2. バネによる位置エネルギーと重力による位置エネルギーの和 = 1/2 Kx^2
　　x: つりあいの位置 (振動の中心) からの変位

決して、重力がなくなるわけではありません。
あくまで、「力の合力」や「位置エネルギーの和」を考えると、式の見かけ上、重力に関する項がいなくなる、というだけのことです。
実際には、重力に関する項は「-Kx」や「1/2 Kx^2」の中に含まれています。

重力を考慮しなくて良くなるのは、結果論でしかありません。

最後に、単振動をはじめ、振動に関する問題では「振動の中心」を意識することが非常に大事です。
まず、単振動では「つりあいの位置」が振動の中心になることをしっかりと理解してください。

何度も何度も、失礼いたしました。

この回答へのお礼

本当に何度も詳しく説明していただいてありがとうございました！感謝です！

お礼日時：2006/02/27 01:30

No.10 回答者： ency 回答日時： 2006/02/25 20:44

No3、No8 ency です。

単振動で、つりあいの位置を基準に考えることによって重力を考慮せずに計算するのは、べつに特別なことではありません。
むしろ大学の講義なんかでは、当然のように使っています。
高校物理なんかの場合でも、試験に使っていただいてまったく問題ありません。
# 一応、これでも大学では機械工学を専攻し、機械力学 (運動をあつかう動力学) や
# 振動工学といった科目も履修してるんですけどね。
# ま、研究室は材料力学 (変形をあつかう静力学) でしたけど。。。

エネルギーについても、No9 で sanoriさんがおっしゃっているようなことは起こらないはずです。
というよりも、上向きと下向きの復元力の大きさが異なる時点で、すでに単振動ではありませんし。。。

単振動だけでなく減衰振動、強制振動を含めて、振動の中心を基準に取ることによって、重力の位置エネルギーは、バネの位置エネルギーに吸収されます。

つりあいの式について、重力項が消去できるのは No8 で示したとおりです。
エネルギーの式については、sigennさんご自信でぜひ確認していただきたかったのであえて書きませんでした。
# 同様につりあいの式をうまく使えば、重力の位置エネルギーの項を消去できます。

ただし、やはり一度自分で計算して、上記の事実を証明してみることは大事だと思います。
そして、証明できればあとは自由に使えば良いんです。

# というよりも、教科書にもふつうに記載されていたように記憶していますが。。。
# バネの位置エネルギーが登場するあたりで、全力学的エネルギーは
#
# E = 1/2 mv^2 + 1/2 kx^2
#
# と表せる、と。。。
# あ、もちろんこの場合の x は自然長からの伸びではなくて、つりあいの位置からの
# 伸びです。。。少々くどいですか。。。(？)

No.9 回答者： sanori 回答日時： 2006/02/25 04:02

話を単純にしようとするあまり、かえって議論が難しくなり、誤りにつながるケースは多々あります。

斜面上と垂直方向とでの大統一理論を構築するのであれば、センター試験のようなマークシートで無い限り、高校生は、その理論を答案用紙に書いて証明しなければいけません。

釣り合ったところを基準にして「エル」だけ伸ばすという点については、すでに＃５と＃６で説明してあります。




また、
エネルギーの方程式において、重力加速度を消去するのは、どこかボタンの掛け違いがあるように見受けられます。

重力が物凄く強い状況をイメージすれば、結果は明白です。

坂道を下る方向に「エル」の長さだけ引っ張るとき、質量Ｍの重りは、強い重力のお蔭で楽々下ろすことが出来ます。
しかし、その代償として、釣り合いの位置まで再び戻るまでの道のりは、物凄い苦労が必要になります。
（そのとき重力がゼロになったり、ひっくり返ったりすれば、楽でしょうが。）

同じ「エル」の伸びでも、重力がある限り、力やエネルギーは、決してバネ定数のみで決定されるものではありません。

したがって、
強い重力のもとで、ちょうど釣り合う位置まで戻ったときの速度は、全く重力が無い場合と比較すれば、はるかに遅いものになります。

この回答へのお礼

丁寧に解説していただいてありがとうございました！かなり理解できたと思います！

お礼日時：2006/02/27 01:33

No.8 回答者： ency 回答日時： 2006/02/25 00:14

No3 ency です。

少々言葉が足りなかったかもしれませので補足しておきます。
# 基本的には No7 Lisandteteさんの内容と変わりないのですけど。。。

まず、「摩擦のない斜面にとりつけてLだけのばし…」の箇所は、「摩擦のない斜面にとりつけて」静止させた後「Lだけのばし…」ということであるという前提で話を進めます。
# No5 sanoriさんの言うところの「説Ｂ」を採用します。

まずバネに物体をつけて静止させた状態でのつりあいを考えます。
自然長からつりあいの位置まで L0 だけ伸びたとすれば、以下のようになりますよね。

(斜面に平行方向) mg×sinθ = KL0 …(1)
# 垂直方向は、摩擦を考えない限り考慮する必要がないので省略します。

で、Lだけのばして手を離したとき、つりあいの位置から x だけのびた位置での加速度を a とすると、その場合の斜面に平行方向運動方程式は以下のようになりますよね。
# x の伸びの向きを a の向きとします。

ma = mg×sinθ - K(L0+x)
⇒ ma = -Kx ((1) を使うとこのように変形できます)

というわけで、重力加速度 g が式から消えましたよね。
この場合のポイントは「つりあいの位置を基準に考える」ことです。

そして、「つりあいの位置を基準に考える」ことのもう一つのメリットは、位置エネルギーを考える場合でも威力を発揮します。

バネによる位置エネルギー (弾性エネルギー) のみを考えればよく、重力による位置エネルギーは考える必要がなくなるんです。
# 自然長からのつりあいの位置までの伸びと、重力による位置エネルギーがお互いに
# 相殺して、結局つりあいの位置からの伸びだけを考えれば良くなるんです。
# 一度、ご自分でご確認してみることをお勧めしますが。。。

バネの問題の場合、自然長 (伸びのない状態の長さ) を基準に考えるよりも、おもりをつけた後のつりあいの位置を基準にしたほうが、単純に考えることができます。
# 問題を解くときに、なにもわざわざ複雑に難しく考える必要もありませんよね。

ちょっと長くなりましたが、こんな感じでいかがでしょうか。

No.7 回答者： Lisandtete 回答日時： 2006/02/24 17:49

摩擦のない台の上に水平に寝せても、空中でぶら下げても、M-K 系の周期は変わりません。

斜めでも（摩擦がなければ）変わりません。水平、斜め、鉛直で変化するのは、バネの自然長（質量がついていないバネの他端：支点から質点の位置までの長さ）です。斜めや鉛直にしますと自然長は伸びますが、水平時からの伸び分 u はバネにたまるひずみエネルギー Ku^2/2 で、質量 M が下がる位置エネルギー Mgu sinθ　に等しくなります。ご質問のケースで、斜面に沿って自然長からさらに伸びた（または縮んだ）量として u を定義しますと、質量の運動のエネルギー Ek は Mv^2/2 で、バネのひずみエネルギーEs は先ほどと同様に Ku^2/2 で表されます。ただし v=du/dt （速度）です。振動現象は運動エネルギー Ek とひずみエネルギー Es が交互に入れ替わり、その最大値は等しいのです。ブランコを考えますと、高く上がれば（位置のエネルギーが大きければ）最下点での速度も大きいことがわかります。したがって u と v の最大値を uo, vo としますと、Mvo^2=Kuo^2 より、vo=Root(K/M)uo が成立します。
簡単には、バネが斜面で自然長に変化があっても、斜面に沿った伸び長さに対応するバネ定数に変化はなく、斜面運動であっても質量の運動エネルギーは斜面に沿って測っても正しい値が得られるから、周期は変化しないのです。上の式で uo を L と置くと、質問の速度も得られます。自然なケースの周期の算定法はご存じのこととしています。

この回答へのお礼

アドバイスありがとうございました！！

お礼日時：2006/02/27 01:34

No.6 回答者： sanori 回答日時： 2006/02/24 11:33

＃５です。

さっきの回答で



（２）位置エネルギー
　　Ｍ×ｇ×エル×sinθ



と書きましたが、

ばねをＬまで引っ張る方向は、重力に逆らう方向ではないので、マイナス符号が必要でした。

　　－Ｍ×ｇ×エル×sinθ

となります。

他のところも、今、ざーっと見直しましたが、間違いはなさそうですが、あんまり計算とか得意じゃないので、どっか、うっかりしてるかもしれません。チェックしつつ見ていただけると幸いです。

失礼しました。

No.5 回答者： sanori 回答日時： 2006/02/24 10:32

いえいえ、重力、関係ありますよ。

関係ありあり。


周期は、微分積分を使った力学を習うと、物凄く簡単に解けますが、公式使うしかないですね。

だけど！
振幅と、速さの最大値、の２つは、振り子のことを知らない人でも解けますよ。

「斜面にとりつけてLだけのばし」
の「Ｌ」って、
説Ａ「バネの元々の長さからＬだけ伸ばしたってことでしょ」
説Ｂ「いやいや、重り（質量Ｍ）をつけた状態で斜面で釣り合った（静止した）状態のところをゼロとして、そこから数えてＬなんじゃないの」

まーどっちでもいいや。
めんどくさいので、「エル」って書きます。

説Ｂだったら、
　エル＝Ｌ

説Ａだったら、重りを付けてつりあう場所をｘ＝０とすれば、すでにｘ＝０の時点でｋＭｇ・sinθだけ伸びているので、
　エル＝Ｌ－（Ｍｇ・sinθ）÷ｋ

ｘ＝エルのとき、バネにたまってるエネルギーは

（１）バネのエネルギー
　　（２分の１）×ｋ×（エルの２乗）　だよな確か・・・

（２）位置エネルギー
　　Ｍ×ｇ×エル×sinθ

この２つを合計したものである。

高校ぐらいで習う物理で、しかも「摩擦」とかややこしい条件がないときは、熱が発生しないので、振り子のエネルギー、つまり、「運動エネルギーとバネのエネルギーと位置エネルギー、３つの和」は絶対に変わらないです。
（仮に変わったら、振り子の振動がだんだん減衰するので。）

それは、何を意味しているかというと、
釣り合っていた場所（ｘ＝０）では、位置エネルギーもバネにたまってるエネルギーもゼロ。
ということは、
さっきの（１）と（２）を合わせたエネルギーが、ｘ＝０のところでは全部、運動エネルギーに変わっていなければいけません。
そして、しかも、それ以上の運動エネルギーを補充してくれる人は他にいないので、ｘ＝０の時が運動エネルギーが最大です。

というわけで
　さっきの（１）＋さっきの（２）＝（２分の１）×Ｍ×（ｖの２乗）

これで、最大の速さｖが求まります。


「振幅」の定義を高校の教科書にどう書いてるかは知りませんが
振り子は、釣り合う場所ｘ＝０を中心に
　ｘ＝０±エル
の範囲で運動をするので、片道振幅はエル、いちばん上と一番下ならば、エルの２倍。


周期は、上で求めた数字を公式に当てはめれば求まるでしょう。（微分積分使ったら楽だけどなー）

No.4 回答者： N64 回答日時： 2006/02/24 09:22

『水平振子』というキーワードで、インターネット検索すると、よいと思います。

以下の参考URLでは、「垂直とθの角度をなす」となっていますので、少し違いますが、主題の場合は、公式の重力加速度ｇの変わりにｇsinθを入れれば、良いような気がします。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2006/02/27 01:35

No.3 回答者： ency 回答日時： 2006/02/24 02:29

普通に公式に当てはめれば求まりませんか？

つりあいの位置を振動の中心に考えれば、重力やらなにやら余計なことは考える必要もなく、ただの単振動になりますよね。

そう考えると、周期と振幅はすぐわかると思います。
これらがわかれば、速度の最大値もわかりますよね？

No2 hunityさんへ：
一応建前上、高校物理の計算では微分積分は使用してはいけなかったはずです。

# そのために、運動ごとに個別に公式として覚えなければいけないのですけど。。。

No.2 回答者： hunity 回答日時： 2006/02/24 00:10

逆に質問ですが～、物理の授業で積分とか使ったことありますか?

この回答への補足

たぶんないと思います！

補足日時：2006/02/24 00:28