問)Solve dy/dx = (10x – 1) / (4 + 3y²)
模範解答と模範途中式)∴ (4 + 3y²) dy/dx = (10x – 1)
∴ ∫ (4 + 3y²) dy = ∫ (10x – 1) dx
∴ 4y + y³ +C1 = 5x² – x +C2 (ア)(タイプ出来ませんでしたがこのCについている1,2は小さいです)
∴ 4y + y³ = 5x² – x +C (イ)
∴5x² - y³ = 4y + x – C (ウ)
∴5x² - y³ = 4y + x +A (エ)
理解出来ないのは何故 何故 イ)で C がひとつになるのですか? 最終的に C は一つにならないといけない、とは思うのですがどうやって処理するのですか? C2 - C1 は2-1だからCがひとつだけ残るのですか?
エ)で何故 C が A に変わるのですか?
どなたか教えて頂けますか?
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
(ア)→(イ)について
「2-1だからCがひとつだけ残る」わけではありません。
まず(ア)の段階では 問) の微分方程式を解いた結果、C1, C2 はどのような数であっても 問)の微分方程式を満たす、ことが導かれました。
しかし、
(1)「4y + y³ +C1 = 5x² – x +C2, ただしC1, C2 は任意にとってよい」
というのは何も両辺に定数を振り分けて書かなくても
(2)「4y + y³ = 5x² – x +C, ただしC は任意にとってよい」
というのと同値です。
むしろ(1)の言い方だと、
4y + y³ +3 = 5x² – x +7
も
4y + y³ +4 = 5x² – x +8
も同じ解を与えますので表記に冗長性がありますよね。
(2)の書き方だと、
4y + y³ = 5x² – x +4
となり、同じ解に対して表し方は一通り(冗長性のない表し方)になりますよね。
(ウ)→(エ)について
問題に初期値などに関する条件は書かれていましたか?
そうでなければ、単に任意定数の部分をマイナスで表記したくなかったから、A = -C とおいてプラスで書きなおしたというだけだと思います。
>問題に初期値などに関する条件は書かれていましたか?
いえ、u-tube からの問題でこれ以上の条件はありませんでした。
詳しくいろんな事を説明して下さり助かりました。
有難うございました。
No.2
- 回答日時:
C2-C1=C とするだけです。
単なる置き換えです。C2 と C1 も任意定数なので、まとめて1個の任意定数にしても問題ありません。
また A=-C なのでしょう。
なぜわざわざ置き換えるのか不明ですが・・・
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